Capacité 1☘

Calculer, appliquer, exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).

A savoir: qu'est ce qu'une proportion ?☘

On considère un ensemble E fini et A une partie de E. La proportion d'éléments de E appartenant à A est $\frac{\text{nombre d'éléments de }A}{\text{nombre d'éléments de }E}$ .

Une proportion est donc un nombre de l'intervalle $[0~;~1]$ .

Exemple☘

L'un des intérêts de la notion de proportion est de ramener deux populations d'effectifs différents à une même unité, ce qui permet de mieux les comparer.

On veut par exemple comparer des groupes politiques et savoir s'ils respectent une certaine parité homme/femme. Il est difficile de savoir du premier "coup d'oeil" si 24 hommes dans un groupe de 40, c'est "plus" ou "moins" que 84 hommes dans un groupe de 120.

On calcule donc dans chaque cas la proportion d'hommes dans le groupe:

Dans le groupe 1, cette proportion est égale à $p_1 = \frac{24}{40} = 0,6 = \frac{60}{100} = 60\%$ .
Dans le groupe 2, cette proportion est égale à $p_2 = \frac{84}{120} = 0,7 = \frac{70}{100} = 70\%$ .

Dans le groupe 1, la proportion d'hommes est 0,6 et dans le second groupe, elle est de 0,7.

Plutôt que de comparer à l'unité, on se ramène souvent à un groupe de 100, et on dira que la proportion d'hommes est de 60 hommes pour 100 personnes dans le groupe 1 et de 70 pour 100 dans le groupe 2.

Pourcentage☘

Donner un pourcentage d'une quantité, c'est donner une proportion.

Exemple:

Un lycée compte 2000 élèves. 60% des élèves sont des filles. Qu'est-ce que cela signifie ?

Cela signifie que la proportion de filles dans l'ensemble des élèves est égale à 60% = $\frac{60}{100}$ . Si l'on note $f$ le nombre de filles dans le lycée, on a donc: $\frac{f}{2000} = \frac{60}{100}$ , soit $f = \frac{60}{100} \times 2000$ .

Question☘

Calculer 16% de 300 euros.

Solution

16% de 300 $= \frac{16}{100} \times 300 = 16 \times 3 = 48$ .

16% de 300 euros = 48 euros.

Question☘

Un lycée compte 150 élèves de terminale. 22% des élèves de ce lycée suivent le cours d'allemand. Combien d'élèves suivent le cours d'allemand ?

Solution

22% de 150 $= \frac{22}{100} \times 150 = \frac{22}{10} \times 15$

soit 22% de 150 $= \frac{2\times 11}{2\times 5} \times 3 \times 5 = 11\times 3 = 33$ .

33 élèves suivent le cours d'allemand.

Question☘

Calculer 20% de 6,4.

Solution

20% de 6,4 $= \frac{20}{100}\times 6,4 = \frac{2}{10}\times 6,4 = \frac{12,8}{10}$ .

20% de 6,4 = 1,28.

Question☘

Calculer 20% de 190.

Solution

20% de 190 $= \frac{20}{100} \times 190 = \frac{2}{10} \times 190$
soit 20% de 190 $=2 \times 19 = 38$ .

Question☘

Calculer 25% de 150.

Solution

25% de 150 $= \frac{25}{100} \times 150 = \frac{25}{10} \times 15$
soit 25% de 150 $=\frac{25}{2\times 5} \times 3\times 5 =\frac{25}{2} \times 3$
25% de 150 $=\frac{75}{2} = 37,5$ .

Question☘

Calculer 6% de 250.

Solution

6% de 250 $=\frac{6}{100}\times 250 = \frac{6}{10}\times 25$

soit 6% de 250 $=\frac{6}{2\times 5}\times 5\times 5=\frac{6}{2 }\times 5$

6% de 250 $=3\times 5=15$ .

Question☘

Un groupe d'élèves d'IUT se répartit ainsi:

	filles	garçons	total
bac technologique	3	13
bac général	9		24
total

Quelle est la proportion de filles dans le groupe d'élèves ?
Quelle est la proportion de filles titulaires d'un bac techno. dans le groupe d'élèves ?
Quelle est la proportion de filles titulaires d'un bac techno. dans le groupe de filles ?
Quelle est la proportion de filles titulaires d'un bac techno. dans le groupe des titulaires d'un bac technologique ?

Solution

	filles	garçons	total
bac technologique	3	13	16
bac général	9	15	24
total	12	28	40

$\frac{12}{40} = \frac{3\times 4}{10 \times 4} = \frac{3}{10}$ . La proportion est 0,3 (on peut aussi exprimer cela sous la forme: la proportion est de 30%).
$\frac{3}{40} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{10} = \frac{0,75}{10} = \frac{7,5}{100}$ . La proportion est égale à 0,075 (c'est à dire à 7,5%).
$\frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25$ . La proportion est égale à 0,25 (c'est à dire 25%).
$\frac{3}{16} = \frac{0,75}{4} = \frac{0,375}{2} = 0,1875$ . La proportion est égale à 0,1875 (c'est à dire 18,75%).

Question☘

Dans une ville, lors d'une élection, parmi les $10\ 000$ votants, la proportion de personnes ayant voté pour mr Truc est égale à 0,1. Combien de personnes ont voté pour mr Truc ?

Solution

0,1 × 10 000 = 1 000.

1000 personnes ont voté pour mr Truc.

Question☘

On utilise un test pour savoir qui est porteur d'un certain virus. On estime que 1% des gens non porteurs testés seront déclarés porteurs par ce test.
Si on teste 30 millions de personnes dont 25 millions de non porteurs, quel sera le nombre de "faux positifs" (c'est à dire de personnes déclarées porteuses alors qu'elles ne le sont pas) ?

Solution

0,01 × 25.10⁶ = 25.10⁴ = 250 000

Question☘

On utilise un test pour savoir qui est porteur d'un certain virus. On estime que 2% des gens porteurs testés seront déclarés non porteurs par ce test.
Si on teste 30 millions de personnes dont 25 millions de non porteurs, quel sera le nombre de "faux négatifs" (c'est à dire de personnes déclarées non porteuses alors qu'elles le sont) ?

Solution

0,02 × 5.10⁶ = 2 × 5.10⁴ = 10.10⁴ = 100 000

Question☘

2 000 personnes d'une ville sont pour le nucléaire. Sachant que cela représente 2% de l'effectif de population de la ville, quel est cet effectif ?

Solution

Soit E cet effectif total. 2% de E = 2000, soit $\frac{2}{100} E = 2000$ , d'où $E = 2000 \times \frac{100}{2}$ .

On a donc $E = 100\ 000$ . La ville compte 100 000 personnes.

Question☘

En 2017, il y avait environ 48 millions d'électeurs inscrits pour l'élection présidentielle. Au second tour, 42% environ des inscrits ont voté pour Macron. Combien de personnes ont ainsi voté pour Macron ?

Solution

0,42 × 48 = 20,16. Envirion 20 millions de personnes ont voté pour Macron.

Question☘

Les quatre cinquièmes des candidats à un concours ont été reçus. Cela représente 120 candidats reçus. Combien y avait-il de candidats ?

Solution

On note C le nombre de candidats.

$\frac{4}{5} C = 120$ , d'où $C = \frac{5}{4} \times 120 = 150$