Capacité 10 a☘

Effectuer des opérations entre des fractions simples.

A retenir☘

$\frac{a}{p} +\frac{b}{q} = \frac{aq}{pq} +\frac{bp}{qp} = \frac{aq+bp}{pq}$

$\frac{a}{p} -\frac{b}{q} = \frac{aq}{pq} -\frac{bp}{qp} = \frac{aq-bp}{pq}$

$\frac{a}{p} \times \frac{b}{q} = \frac{ab}{pq}$

$\frac{ak}{pk} = \frac{a}{p}$

$\frac{\ \frac{a}{p}\ }{\frac{b}{q}} = \frac{a}{p} \times \frac{q}{b} = \frac{aq}{pb}$

$\frac{\ \frac{a}{p}\ }{c} = \frac{a}{p} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{pc}$

Question☘

Ecrire $\frac{5}{3} + \frac{1}{2}$ sous la forme $n+ \frac{a}{b}$ où $n$ est entier et $\frac{a}{b}$ est un rationnel entre 0 et 1.

Solution

$\frac{5}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5\times 2 + 1\times 3}{3\times 2} = \frac{13}{6} = \frac{12+1}{6} = 2+\frac{1}{6}$

Question☘

Calculer $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} +\frac{1}{2}$

Solution

$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} +\frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} +\frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Question☘

Calculer $\frac{1}{2} \times \left( 1 - \frac{1}{3} \right)$

Solution

$\frac{1}{2} \times \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Question☘

Calculer $\frac{12}{5} \times \frac{10}{3} - \frac{1}{2}$

Solution

$\frac{12}{5} \times \frac{10}{3} - \frac{1}{2} = \frac{12\times 10}{5\times 3} - \frac{1}{2} = \frac{4\times 3\times 2\times 5}{5\times 3} - \frac{1}{2}$

soit ${4\times 2 } - \frac{1}{2} = 7,5 = \frac{15}{2}$

Question☘

Écrire sous forme de fraction irréductible les nombres: $A = \frac{2}{7} \times \frac{1}{6}$ , $B = \frac{3}{4} + 7$ , $C = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{1}{25}}$ .

Solution

$A = \frac{2}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{7} \times \frac{1}{2\times 3} = \frac{1}{7\times 3}= \frac{1}{21}$ .

$B = \frac{3}{4} + 7 = \frac{3}{4} + \frac{7\times 4}{4} = \frac{3 + 28}{4} = \frac{31}{4}$ .

$C = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{1}{25}} =\frac{12}{5} \times 25 = 12\times 5 = 60$ .

Question☘

Ecrire sous forme de fraction irréductible: $A = 14\times \frac{2}{7} + \frac{1}{6} - \frac{\frac{1}{3}}{5}$ .

Solution

$A = 14\times \frac{2}{7} + \frac{1}{6} - \frac{\frac{1}{3}}{5} = 2\times {2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}$

soit $A = 4 + \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = 4 + \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = 4 + \frac{3}{30} = 4 + \frac{1}{10}$ ,

d'où $A = \frac{40}{10} + \frac{1}{10} = \frac{41}{10}$ .

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$a = \frac{\ \ \frac{4}{3}\ \ }{12}$ , $b = \frac{4}{\ \frac{3}{12}\ }$ , $c = \frac{\ \ \frac{5}{8}\ \ }{\frac{3}{4}}$

Solution

$a = \frac{\ \ \frac{4}{3}\ \ }{12} = \frac{\ \ \frac{4}{3}\ \ }{\frac{12}{1}} = \frac{4}{3}\times \frac{1}{12}= \frac{4\times 1}{3\times (4\times 3)}$ , soit $a = \frac{1}{9}$ .

$b = \frac{4}{\ \frac{3}{12}\ } = \frac{4}{\ \frac{1}{4}\ } = 4\times \frac{4}{1} = 16$

$c = \frac{\ \ \frac{5}{8}\ \ }{\frac{3}{4}} = \frac{5}{8}\times \frac{4}{3} = \frac{5\times 4}{(2\times 4)\times 3}$ , soit $c = \frac{5}{6}$ .

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$d = \frac{2}{5} \times \left( \frac{-1}{2} +7 \times \frac{3}{14}\right)$

Solution

$d = \frac{2}{5} \times \left( \frac{-1}{2} +7 \times \frac{3}{14}\right) = \frac{2}{5} \times \left( \frac{-1}{2} + \frac{7}{1}\times\frac{3}{2\times 7}\right)$ , soit $d = \frac{2}{5} \times \left( \frac{-1}{2} + \frac{7\times 3}{1\times 2\times 7}\right)$ ,
$d = \frac{2}{5} \times \left( \frac{-1}{2} + \frac{3}{2}\right)$
$d = \frac{2}{5} \times \left( \frac{2}{2} \right)$
$d = \frac{2}{5} \times \left( 1 \right)$
$d = \frac{2}{5}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$k = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ .

Solution

$k = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} =\frac{2}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
$k = \frac{6}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
$k = \frac{7}{4}+\frac{1}{3}$ (en regroupant le premier terme et le dernier)
$k = \frac{7\times 3}{4\times 3}+\frac{1\times 4}{3\times 4}$
$k = \frac{21}{12}+\frac{4}{12}$
$k = \frac{25}{12}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$j = \left(\frac{2}{3}-1\right)-\left(2+\frac{1}{3}\right)$ .

Solution

$j = \left(\frac{2}{3}-1\right)-\left(2+\frac{1}{3}\right)$
$j = \frac{2}{3}-1-2-\frac{1}{3}$
$j = \frac{1}{3}-3$
$j = \frac{1}{3}-\frac{9}{3}$
$j = \frac{-8}{3}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$a = \frac{\ \ \frac{5}{3}\ \ }{20}$

Solution

$a = \frac{5}{3} \times \frac{1}{20}$
$a = \frac{5}{3} \times \frac{1}{5\times 4}$
$a = \frac{1}{3} \times \frac{1}{ 4}$
$a = \frac{1}{12}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$b = \frac{15}{\ \frac{3}{20}\ }$

Solution

$b = {15}\times \frac{20}{3}$
$b = 5\times 3\times \frac{20}{3}$
$b = 5\times 20$
$b = 100$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$c = \frac{11}{5} \times \left( \frac{-1}{3} +7 \times \frac{4}{21}\right)$

Solution

$c = \frac{11}{5} \times \left( \frac{-1}{3} +7 \times \frac{4}{7\times 3}\right)$
$c = \frac{11}{5} \times \left( \frac{-1}{3} + \frac{4}{3}\right)$
$c = \frac{11}{5} \times \frac{3}{3}$
$c = \frac{11}{5}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$d = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

Solution

$d = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
$d = \frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{4}$
$d = \frac{5}{6} -\frac{1}{4}$
$d = \frac{10}{12} -\frac{3}{12}$
$d = \frac{7}{12}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$u = \left(\frac{2}{7}-2\right)-\left(3+\frac{1}{7}\right)$

Solution

$u = \frac{2}{7}-2 - 3- \frac{1}{7}$
$u = \frac{1}{7}-2 - 3$
$u = \frac{1}{7}-5$
$u = \frac{1}{7}-\frac{35}{7}$
$u = \frac{-34}{7}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$a= \frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}$

Solution

$a =\left( \frac{2\times 5}{3\times 5}+\frac{3\times 3}{5\times 3}\right)+\frac{1}{2}$
$a =\left( \frac{10}{15}+\frac{9}{15}\right)+\frac{1}{2}$
$a = \frac{19}{15} +\frac{1}{2}$
$a = \frac{38}{30} +\frac{15}{30}$
$a = \frac{53}{30}$

Question☘

Ecrire sous forme irréductible:

$b=\frac{4}{3}+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}$

Solution

$b=\frac{20}{15}+\frac{6}{15}+\frac{1}{2}$
$b=\frac{26}{15} +\frac{1}{2}$
$b=\frac{52}{30} +\frac{15}{30}$
$b=\frac{67}{30}$

Question☘

Ecrire la somme $\frac{8}{7}+\frac{5}{2}$ sous la forme $n + \frac{a}{b}$ où $n$ est un entier naturel et $\frac{a}{b}$ une fraction irréductible de l'intervalle $\left[0~;~1\right[$

Solution

$a=\frac{8}{7}+\frac{5}{2}$
$a=\frac{16}{14}+\frac{35}{14}$
$a=\frac{51}{14}$
$a=\frac{51}{14}$
$a=\frac{3\times 14+9}{14}$
$a= 3 + \frac{9}{14}$

Question☘

Ecrire la somme $\frac{8}{7}+\frac{3}{2}$ sous la forme $n + \frac{a}{b}$ où $n$ est un entier naturel et $\frac{a}{b}$ une fraction irréductible de l'intervalle $\left[0~;~1\right[$

Solution

$b=\frac{8}{7}+\frac{3}{2}$
$b=\frac{16}{14}+\frac{21}{14}$
$b=\frac{37}{14}$
$b=\frac{2\times 14+9}{14}$
$b=2+ \frac{9}{14}$

Question☘

Ecrire sous forme d'une fraction irréductible le nombre $A=\frac{\ \ \frac{15}{18}\ \ }{\frac{25}{6}}$

Solution

$A= \frac{15}{18} \times\frac{6}{25}$
$A= \frac{3\times 5}{2\times 3\times 3} \times\frac{2\times 3}{5\times 5}$ $A= \frac{1}{5}$

Question☘

Ecrire sous forme d'une fraction irréductible le nombre

$A=\frac{\ \ \frac{9}{15}\ \ }{\frac{3}{25}}$

Solution

$A= \frac{9}{15} \times\frac{25}{3}$
$A= \frac{3\times 3}{5\times 3} \times\frac{5\times 5}{3}$
$A= 5$