Capacité 11☘

Effectuer des opérations sur les puissances.

Les règles de calcul sur les puissances☘

Sous condition d'existence...

$(a^n)^m = a^{nm}$ , $a^{n+m} = a^n a^m$ , $a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$ , $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $(ab)^n = a^n b^n$ , $\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b}\right)^n$ , $\frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n$

Question☘

Ecrire sous forme d'une puissance de q: $q^n \times q = ...$

Solution

$q^n \times q = q^n \times q^1 = q^{n+1}$

Question☘

Ecrire sous forme d'une puissance de 2: $A= 2^{-4} \times \frac{1}{4} \times (2^{-3})^2$ .

Solution

$A = 2^{-4} \times \frac{1}{2^2} \times (2^{-3})^2$
$A = 2^{-4} \times 2^{-2} \times 2^{(-3)\times 2}$
$A = 2^{-4} \times 2^{-2} \times 2^{-6}$
$A = 2^{-4-2-6}$
$A = 2^{-12}$

Question☘

Ecrire sous la forme d'une puissance de 3: $B =\frac{3^{n+1} \times (3^{4})^2}{3^{10}}$

Solution

$B =3^{n+1} \times (3^{4})^2 \times 3^{-10}$
$B =3^{n+1} \times 3^{4\times 2}\times 3^{-10}$
$B =3^{n+1+8-10}$
$B =3^{n-1}$

Question☘

Une suite $(u_n)$ est telle que $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout entier $n$ .

Pour $n$ et $m$ entiers, exprimer $\frac{u_n}{u_m}$ sous la forme d'une puissance de q.

Solution

$\frac{u_n}{u_m} = \frac{u_0 \times q^n}{u_0 \times q^m} = \frac{q^n}{q^m} = q^{n-m}$

Question☘

Exprimer sous forme d'une puissance de 5: $A = \frac{25 \times (5^2)^3}{5^{-3}}$ .

Solution

$A = \frac{5^2 \times (5^2)^3}{5^{-3}}$
$A = 5^2 \times (5^2)^3 \times 5^{3}$
$A = 5^2 \times 5^{2\times 3} \times 5^{3}$
$A = 5^{2+6+3}$
$A = 5^{11}$

Question☘

Exprimer sous forme d'une puissance de 7: $A = \frac{49 \times (7^3)^4 \times 7^{-2}}{7^{3}}$ .

Solution

$A = \frac{49 \times (7^3)^4 \times 7^{-2}}{7^{3}}$
$A = \frac{7^2 \times 7^{3\times 4} \times 7^{-2}}{7^{3}}$
$A = 7^2 \times 7^{3\times 4} \times 7^{-2} \times 7^{-3}$
$A = 7^{2 + 3\times 4 + (-2) + (-3)}$
$A = 7^{9}$