Capacité 15a☘

Résoudre une équation du type x² = a.

A savoir☘

Résolution de l'équation $x^2 = a$ :

Si $a<0$ : l'équation n'a pas de solution.
Si $a=0$ , l'équation a une seule solution, à savoir $x=0$ .
Si $a>0$ , l'équation a deux solutions, les nombres $-\sqrt{a}$ et $+\sqrt{a}$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2 +1 = 0$ .

Solution

Cette équation s'écrit aussi $x^2 = -1$ et n'a pas de solution puisque $-1 < 0$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2 -1 = 0$ .

Solution

L'équation s'écrit aussi $x^2 = 1$ et a donc deux solutions $-\sqrt{1} = -1$ et $+\sqrt{1} = 1$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(x-5)^2-16=0$ .

Rédaction 1

L'équation est équivalente à $(x-5)^2 = 16$ , soit à $\begin{cases} X = x-5 \\ X^2=16\end{cases}$ .

L'équation équivaut donc à $\begin{cases} X = x-5 \\ X = -4 \text{ ou } X= 4\end{cases}$ , donc à $x-5 = -4$ ou $x-5 = 4$ .

L'équation a donc deux solutions: les nombres 1 et 9.

Rédaction 2

On remarque que $(x-5)^2-16$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a = x-5$ et $b=4$ .

Comme $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ , l'équation est équivalente à $(x-5-4)(x-5+4)=0$ , c'est à dire à $(x-9)(x-1)=0$ et on retrouve ainsi les deux solutions 1 et 9.

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(x-5)^2+16=0$ .

Solution

L'équation est équivalente à $(x-5)^2 = -16$ , soit à $\begin{cases} X = x-5 \\ X^2 = -16\end{cases}$ .

Comme $X^2 \geqslant 0$ et $-16<0$ , l'équation n'a pas de solution.

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(3x+7)^2 - 25=0$ .

Solution

L'équation est équivalente à $(3x+7)^2 = 25$ , soit à $\begin{cases} X = 3x+7 \\ X^2 = 25\end{cases}$ ,
ce qui est équivalent à $\begin{cases} X = 3x+7 \\ X = -5 \text{ ou } X = +5\end{cases}$ , soit à $3x+7 = -5$ ou $3x+7 = 5$ .

L'équation a donc deux solutions: $x = -4$ ; $x = \frac{-2}{3}$ .

Solution

Seconde méthode: on reconnaît la forme $a^2 -b^2$ avec $a=3x+7$ et $b=5$ .

Comme $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ , on a:
$(3x+7)^2 - 25=0 \Longleftrightarrow (3x+7)^2 - 5^2=0 \Longleftrightarrow (3x+7-5)(3x+7+5) = 0$ ,
d'où $(3x+7)^2 - 25=0 \Longleftrightarrow (3x+2)(3x+12) = 0 \Longleftrightarrow x = \frac{-2}{3} \text{ ou } x = -4$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(2x-5)^2 - 49=0$ .

Solution

L'équation est équivalente à $(2x-5)^2 = 49$ , soit à $\begin{cases} X = 2x-5 \\ X^2 = 49\end{cases}$ ,
ce qui est équivalent à $\begin{cases} X = 2x-5 \\ X = -7 \text{ ou } X = +7\end{cases}$ , soit à $2x-5 = -7$ ou $2x-5 = 7$ .

L'équation a donc deux solutions: $x = -1$ ; $x = 6$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(5x-1)^2 - 16=0$ .

Solution

L'équation est équivalente à $(5x-1)^2 = 16$ , soit à $\begin{cases} X = 5x-1 \\ X^2 = 16\end{cases}$ ,
ce qui est équivalent à $\begin{cases} X = 5x-1 \\ X = -4 \text{ ou } X = +4\end{cases}$ , soit à $5x-1 = -4$ ou $5x-1 = 4$ .

L'équation a donc deux solutions: $x = \frac{-3}{5}$ ; $x = 1$ .

Solution

Seconde méthode: on reconnaît la forme $a^2 -b^2$ avec $a=5x-1$ et $b=4$ .

Comme $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ , on a:
$(5x-1)^2 - 16=0 \Longleftrightarrow (5x-1)^2 - 4^2=0 \Longleftrightarrow (5x-1-4)(5x-1+4) = 0$ ,
d'où $(5x-1)^2 - 16=0 \Longleftrightarrow (5x-5)(5x+3) = 0 \Longleftrightarrow x = \frac{-3}{5} \text{ ou } x = 1$ .