Capacité 15c☘

Résoudre une inéquation du premier degré.

A savoir☘

On rappelle que l'on dit que deux inéquations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions.

La résolution d'inéquations du premier degré s'appuie sur les propriétés suivantes:

Les inéquations d'inconnue $x$ : $f(x) < g(x)$ et $f(x) + a < g(x) + a$ sont équivalentes quelque soit le réel $a$ .
Les inéquations d'inconnue $x$ : $f(x) < g(x)$ et $a\times f(x) < a\times g(x)$
sont équivalentes quelque soit le réel strictement positif $a$ .
Les inéquations d'inconnue $x$ : $f(x) < g(x)$ et $a\times f(x) > a\times g(x)$
sont équivalentes quelque soit le réel strictement négatif $a$ .

Et les propriétés analogues obtenues avec des inégalités larges.

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{1}{3}x + \frac{4}{5} < 2x$ .

Solution

On peut commencer par multiplier chaque membre par le nombre strictement positif 15. On obtient ainsi l'inéquation équivalente:

$\frac{15}{3}x + \frac{4\times 15}{5} < 15 \times 2x$ , soit $5x + 12 < 30x$ .

On ajoute $-5x$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente: $12<25x$ .

Enfin on multiplie chaque membre par le nombre strictement positif $\frac{1}{25}$ et on obtient l'inéquation équivalente: $\frac{12}{25} < x$ .

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left] \frac{12}{25} ~;~ +\infty\right[$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{1}{3\sqrt{2}} < 2$ .

Solution

On peut commencer par multiplier chaque membre par le nombre strictement positif $\sqrt{2}$ . On obtient ainsi l'inéquation équivalente:

$\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} < 2\sqrt{2}$

On multiplie par le nombre strictement postif $3$ . On obtient ainsi l'inéquation équivalente:

$2x + 1 < 6\sqrt{2}$

On ajoute $-1$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente:

$2x < 6\sqrt{2} - 1$

Enfin on multiplie chaque membre par le nombre strictement positif $\frac{1}{2}$ et on obtient l'inéquation équivalente:

$x < 3\sqrt{2} - \frac{1}{2}$

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left] -\infty ~;~ 3\sqrt{2} - \frac{1}{2}\right[$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{2}{5}x - \frac{4}{5} \leqslant 2x + 5$ .

Solution

On peut commencer par multiplier chaque membre par le nombre strictement positif 5. On obtient ainsi l'inéquation équivalente:

$2x - 4 \leqslant 10x + 25$

On ajoute $-10x$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente:

$-12x - 4 \leqslant 25$

On ajoute $4$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente:

$-12x \leqslant 29$

Enfin on multiplie chaque membre par le nombre strictement négatif $\frac{-1}{12}$ et on obtient l'inéquation équivalente:

$x \geqslant \frac{-29}{12}$

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left[ \frac{-29}{12} ~;~ +\infty\right[$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{4}{3}x - \frac{1}{2} > 3x - 5$ .

Solution

On peut commencer par multiplier chaque membre par le nombre strictement positif 6. On obtient ainsi l'inéquation équivalente:

$8x - 3 > 18x - 30$

On ajoute $-8x$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente:

$-3 > 10x -30$

On ajoute $30$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente:

$27 > 10x$

Enfin on multiplie chaque membre par le nombre strictement positif $\frac{1}{10}$ et on obtient l'inéquation équivalente:

$\frac{27}{10} > x$

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left]-\infty~;~ \frac{27}{10} \right[$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} > \frac{6}{5}x + 1$ .

Solution

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} > \frac{6}{5}x + 1$

On peut commencer par multiplier chaque membre par le nombre strictement positif 30. On obtient ainsi l'inéquation équivalente:

$10x - 15 > 36x + 30$

On ajoute $-36x$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente:

$-26x -15 > 30$

On ajoute $15$ à chaque membre pour obtenir l'inéquation équivalente:

$-26x > 45$

Enfin on multiplie chaque membre par le nombre strictement négatif $\frac{-1}{26}$ et on obtient l'inéquation équivalente:

$x < \frac{-45}{26}$

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left]-\infty~;~ \frac{-45}{26} \right[$ .

Question☘

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{1}{5}x - \frac{1}{3} < \frac{1}{4}x + 1$ .

Solution

$\frac{1}{5}x - \frac{1}{3} < \frac{1}{4}x + 1$

On peut commencer par multiplier chaque membre par le nombre strictement positif 60. On obtient ainsi l'inéquation équivalente:

$12x - 20 < 15x + 60$

On ajoute $-15x$ à chaque membre puis $20$ pour obtenir l'inéquation équivalente:

$-3x < 80$

Enfin on multiplie chaque membre par le nombre strictement négatif $\frac{-1}{3}$ et on obtient l'inéquation équivalente:

$x > \frac{-80}{3}$

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left] \frac{-80}{3} ~;~ +\infty~\right[$ .