Capacité 19a☘

Développer, réduire une expression algébrique simple.

Distribuer☘

Le développement d'une expression algébrique est en général basée sur la propriété de distributivité.

Distributivité "simple":
- $a\times(b+c) = ab + ac$
- $(b+c)\times a = ba +ca$ .
Distributivité "double":
- $(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = ac+ad +bc+bd$ ,
- qu'on peut aussi écrire $(a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d= ac+bc+ad+bd$ .

Identités à retenir☘

Les identités ci-dessous s'obtiennent par un simple développement mais il est utile de les retenir.

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2$ ,

$(a-b)^2 = a^2 -2ab+b^2$ ,

$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ .

Question☘

Développer et réduire $f(x) = \left(\frac{1}{3}x-7\right)\times \left(x + \frac{1}{4}\right)$ .

Solution

$\begin{align} f(x) &= \left(\frac{1}{3}x-7\right)\times \left(x + \frac{1}{4}\right) \\ &= \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x\times \frac{1}{4} -7x - \frac{7}{4}\\ &= \frac{1}{3}x^2 + \left(\frac{1}{12}-7\right)x - \frac{7}{4}\\ &= \frac{1}{3}x^2 -\frac{83}{12}x - \frac{7}{4}\\ \end{align}$

Question☘

Développer et réduire $f(x) = \left(\frac{1}{5}x-7\right)\times \left(\frac{1}{5}x+7\right)$ .

Solution

$f(x)$ étant de la forme $(a-b)(a+b)$ , on a immédiatement $f(x) = \left(\frac{1}{5}x\right)^2 - 7^2$ , soit $f(x) = \frac{1}{25}x^2 -49$ .

Question☘

Développer et réduire $f(x) = (2x-1)^3$ .

Solution

$\begin{align} (2x-1)^3 &= (2x-1)^2 \times (2x-1) \\ &= (4x^2-4x+1) \times (2x-1) \text{ en utilisant l'identité } (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2 \\ &= 4x^2 \times 2x -4x^2 -4x\times 2x +4x +2x -1 \text{ en distribuant }\\ &= 8x^3 -12x^2 +6x -1 \text{ en regroupant les monômes de même degré} \end{align}$

Question☘

Développer et réduire $f(x) = \left(\frac{3}{5}x-1\right)^2 \times \left(x+\frac{1}{4}\right)$ .

Solution

$\begin{align} \left(\frac{3}{5}x-1\right)^2 \times \left(x+\frac{1}{4}\right) &= \left(\frac{9}{25}x^2- \frac{6}{5}x+1\right) \times \left(x+\frac{1}{4}\right) \text{ en appliquant } (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ &= \frac{9}{25}x^3+\frac{9}{100}x^2 - \frac{6}{5}x^2 - \frac{3}{10}x +x +\frac{1}{4} \text{ en distribuant }\\ &= \frac{9}{25}x^3 - \frac{111}{20}x^2+ \frac{7}{10}x +\frac{1}{4} \text{ en regroupant les monômes de même degré.} \end{align}$

Question☘

Développer et réduire $f(x) = \left(x-\frac{1}{2}\right)^3$ .

Solution

$\begin{align} \left(x-\frac{1}{2}\right)^3 &= \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(x-\frac{1}{2}\right) \\ &=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right) \times \left(x-\frac{1}{2}\right) \text{ en appliquant } (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ &= x^3 - \frac{1}{2}x^2 -x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x -\frac{1}{8} \text{ en distribuant }\\ &= x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x -\frac{1}{8} \text{ en regroupant les monômes de même degré.} \end{align}$

Question☘

Développer et réduire $f(x) = \left( \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}\right)^3$ .

Solution

$\begin{align} \left( \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}\right)^3 &= \left( \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}\right) \times \left( \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \left( \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}\right) \times \left( \frac{4}{9}x^2 - \frac{2}{3}x +\frac{1}{4}\right) \text{ en appliquant } (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ &= \frac{8}{27}x^3 - \frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{6}x - \frac{2}{9}x^2 + \frac{1}{3}x -\frac{1}{8} \text{ en distribuant }\\ &= \frac{8}{27}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{2}x -\frac{1}{8} \text{ en regroupant les monômes de même degré.} \end{align}$

Question☘

Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
$f(x) = \left(\frac{7}{3}x-1\right) \times (3x+2)$ .

Solution

On développe:
$f(x) = \frac{7}{3}x \times 3x + \frac{7}{3}x \times 2 -3x-2$

On réduit:

$f(x) = 7x^2 + \frac{14}{3}x -3x-2$

$f(x) = 7x^2 + \left(\frac{14}{3}-3\right)x -2$

$f(x) = 7x^2 + \left(\frac{14}{3}-\frac{9}{3}\right)x -2$

$f(x) = 7x^2 + \frac{5}{3} x -2$

Le résultat ci-dessus est ordonné suivant les puissances de x (c'est à dire écrit ici sous la forme $ax^2+bx+c$ ).

Question☘

Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:

$g(x) = (ax+b)(4x-3)$ .

Solution

$g(x) = (ax+b)(4x-3)$

On développe:

$g(x) = ax\times 4x +ax\times (-3) +b\times 4x +b(-3)$

On réduit:

$g(x) = 4ax^2 -3ax +4bx -3b$

On regroupe les termes concernant une même puissance de x:

$g(x) = 4ax^2 +(-3a+4b)x -3b$

On a ainsi ordonné suivant les puissances de x (c'est à dire écrit ici sous la forme $Ax^2+Bx+C$ ).

Question☘

Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:

$h(x) = (x-2)(x+3)(x-r)$ .

Solution

$h(x) = (x-2)(x+3)(x-r)$

On développe le produit des deux premiers facteurs:

$h(x) = (x^2+3x-2x-6)(x-r)$

On réduit le facteur obtenu:

$h(x) = (x^2+x-6)(x-r)$

On développe le produit ainsi obtenu:

$h(x) = x^3 -rx^2+x^2-rx-6x+6r$

On réduit en regroupant les termes concernant une même puissance de x:

$h(x) = x^3 +(-r+1)x^2+(-r-6)x+6r$

On a ainsi ordonné suivant les puissances de x (c'est à dire ici écrit sous la forme $ax^3+bx^2+cx+d$ ).

Question☘

Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:

$f(x) = \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \times \left( 6x+\frac{1}{10} \right)$ .

Solution

On développe:

$f(x) = \frac{1}{2} x \times 6x + \frac{1}{2} x \times \frac{1}{10} - 5 \times 6x -5 \times \frac{1}{10}$

On réduit:

$f(x) = 3 x^2 + \frac{1}{20} x - 30 x - \frac{1}{2}$

$f(x) = 3 x^2 + \left(\frac{1}{20} - 30 \right) x - \frac{1}{2}$

$f(x) = 3 x^2 + \left(\frac{1}{20} - \frac{600}{20} \right) x - \frac{1}{2}$

$f(x) = 3 x^2 - \frac{599}{20} x - \frac{1}{2}$

Question☘

Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:

$g(x) = (-3x+8)\times (x+k)$

Solution

On développe:

$g(x) = -3x^2 -3x\times k +8x +8k$

On regroupe les termes en x:

$g(x) = -3x^2 +(-3k +8)x +8k$

Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:

$g(x) = (-3x+8)\times (2x+k)$

Solution

On développe:

$g(x) = -6x^2 -3x\times k +16x +8k$

On regroupe les termes en x:

$g(x) = -6x^2 +(-3k +16)x +8k$

Question☘

Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:

$h(x) = (x-1)(x+2)(x-7)$

Solution

$h(x) = (x^2+2x-x-2)(x-7)$ , soit $h(x) = (x^2+x-2)(x-7)$ .

D'où $h(x) = x^3-7x^2+x^2-7x-2x+14$ et enfin $h(x) = x^3-6x^2-9x+14$ .