Capacité 19a☘
Développer, réduire une expression algébrique simple.
Distribuer☘
Le développement d'une expression algébrique est en général basée sur la propriété de distributivité.
- Distributivité "simple":
- a\times(b+c) = ab + ac
- (b+c)\times a = ba +ca.
- Distributivité "double":
- (a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = ac+ad +bc+bd,
- qu'on peut aussi écrire (a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d= ac+bc+ad+bd.
Identités à retenir☘
Les identités ci-dessous s'obtiennent par un simple développement mais il est utile de les retenir.
Pour tous réels a et b:
(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2,
(a-b)^2 = a^2 -2ab+b^2,
(a-b)(a+b) = a^2-b^2.
Question☘
Développer et réduire f(x) = \left(\frac{1}{3}x-7\right)\times \left(x + \frac{1}{4}\right).
Solution
Question☘
Développer et réduire f(x) = \left(\frac{1}{5}x-7\right)\times \left(\frac{1}{5}x+7\right).
Solution
f(x) étant de la forme (a-b)(a+b), on a immédiatement f(x) = \left(\frac{1}{5}x\right)^2 - 7^2, soit f(x) = \frac{1}{25}x^2 -49.
Question☘
Développer et réduire f(x) = (2x-1)^3.
Solution
Question☘
Développer et réduire f(x) = \left(\frac{3}{5}x-1\right)^2 \times \left(x+\frac{1}{4}\right).
Solution
Question☘
Développer et réduire f(x) = \left(x-\frac{1}{2}\right)^3.
Solution
Question☘
Développer et réduire f(x) = \left( \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}\right)^3.
Solution
Question☘
Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
f(x) = \left(\frac{7}{3}x-1\right) \times (3x+2).
Solution
On développe:
f(x) = \frac{7}{3}x \times 3x + \frac{7}{3}x \times 2 -3x-2
On réduit:
f(x) = 7x^2 + \frac{14}{3}x -3x-2
f(x) = 7x^2 + \left(\frac{14}{3}-3\right)x -2
f(x) = 7x^2 + \left(\frac{14}{3}-\frac{9}{3}\right)x -2
f(x) = 7x^2 + \frac{5}{3} x -2
Le résultat ci-dessus est ordonné suivant les puissances de x (c'est à dire écrit ici sous la forme ax^2+bx+c).
Question☘
Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
g(x) = (ax+b)(4x-3).
Solution
g(x) = (ax+b)(4x-3)
On développe:
g(x) = ax\times 4x +ax\times (-3) +b\times 4x +b(-3)
On réduit:
g(x) = 4ax^2 -3ax +4bx -3b
On regroupe les termes concernant une même puissance de x:
g(x) = 4ax^2 +(-3a+4b)x -3b
On a ainsi ordonné suivant les puissances de x (c'est à dire écrit ici sous la forme Ax^2+Bx+C).
Question☘
Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
h(x) = (x-2)(x+3)(x-r).
Solution
h(x) = (x-2)(x+3)(x-r)
On développe le produit des deux premiers facteurs:
h(x) = (x^2+3x-2x-6)(x-r)
On réduit le facteur obtenu:
h(x) = (x^2+x-6)(x-r)
On développe le produit ainsi obtenu:
h(x) = x^3 -rx^2+x^2-rx-6x+6r
On réduit en regroupant les termes concernant une même puissance de x:
h(x) = x^3 +(-r+1)x^2+(-r-6)x+6r
On a ainsi ordonné suivant les puissances de x (c'est à dire ici écrit sous la forme ax^3+bx^2+cx+d).
Question☘
Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
f(x) = \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \times \left( 6x+\frac{1}{10} \right).
Solution
On développe:
f(x) = \frac{1}{2} x \times 6x + \frac{1}{2} x \times \frac{1}{10} - 5 \times 6x -5 \times \frac{1}{10}
On réduit:
f(x) = 3 x^2 + \frac{1}{20} x - 30 x - \frac{1}{2}
f(x) = 3 x^2 + \left(\frac{1}{20} - 30 \right) x - \frac{1}{2}
f(x) = 3 x^2 + \left(\frac{1}{20} - \frac{600}{20} \right) x - \frac{1}{2}
f(x) = 3 x^2 - \frac{599}{20} x - \frac{1}{2}
Question☘
Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
g(x) = (-3x+8)\times (x+k)
Solution
On développe:
g(x) = -3x^2 -3x\times k +8x +8k
On regroupe les termes en x:
g(x) = -3x^2 +(-3k +8)x +8k
Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
g(x) = (-3x+8)\times (2x+k)
Solution
On développe:
g(x) = -6x^2 -3x\times k +16x +8k
On regroupe les termes en x:
g(x) = -6x^2 +(-3k +16)x +8k
Question☘
Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de x:
h(x) = (x-1)(x+2)(x-7)
Solution
h(x) = (x^2+2x-x-2)(x-7), soit h(x) = (x^2+x-2)(x-7).
D'où h(x) = x^3-7x^2+x^2-7x-2x+14 et enfin h(x) = x^3-6x^2-9x+14.