Capacité 19b☘

Factoriser une expression algébrique simple.

Pourquoi factoriser ?☘

Lorsque nous étudions le signe d'une fonction (souvent, cette fonction sera une dérivée), il arrive souvent que l'expression algébrique dont nous disposons pour cette fonction ne soit pas propice à une étude simple du signe.

Une technique souvent efficace consiste à factoriser cette expression en expressions algébriques dont on connaît le signe (facteurs affines et facteurs de signe constant notamment) et d'utiliser ensuite la règle des signes d'un produit.

Comment factoriser ?☘

Chercher un facteur commun.☘

Exemple.

Pour factoriser $f(x) = x^2 -7x$ , on remarque que chaque terme présente le facteur $x$ . Nous pouvons donc le placer en facteur de l'expression globale: $f(x) = x (x-7)$ .

Utiliser une identité remarquable.☘

Reconnaître le développement du carré d'une somme: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
Reconnaître le développement du carré d'une différence: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
Reconnaître une différence de carrés: $a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)$

Utiliser les racines d'un polynôme de degré 2.☘

Voir la fiche 19c.

Attention

Pour factoriser par exemple $f(x) = 3x^2 + 3x -6$ , une réponse consistant à mettre 3 en facteur ( $f(x) = 3\left(x^2 + x -2\right)$ ) n'est pas en général une réponse suffisante.
Notre objectif sera en effet en général d'obtenir le signe de $f(x)$ or une factorisation par un facteur constant ne nous avance en rien dans l'étude de ce signe.

En d'autres termes, lorsqu'on vous demande de factoriser une expression du second degré, il est sous-entendu qu'il s'agit de l'écrire comme un produit d'expressions du premier degré.

Question☘

Factoriser $f(x) = x^2 - \frac{4}{9}$ .

Solution

On reconnaît la différence de deux carrés.

$f(x) = x^2 - \left( \frac{2}{3} \right)^2$ , d'où la forme factorisée: $f(x) = \left( x - \frac{2}{3} \right) \left( x + \frac{2}{3} \right)$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = x^2-4x +4$ .

Solution

On reconnaît la forme développée du carré d'une différence: $f(x) = x^2 - 2 \times 2x + 2^2$ .

D'où la forme factorisée: $f(x) = (x - 2)^2$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = 2x^2 - 49$ .

Solution

On reconnaît la différence de deux carrés : $f(x) = \left( \sqrt{2}\ x \right)^2 - 7^2$ .

D'où la forme factorisée: $f(x) = \left(\sqrt{2}\ x - 7\right)\left(\sqrt{2}\ x + 7\right)$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = -3x^2 +\frac{1}{7}x$ .

Solution

$x$ est un facteur commun: $f(x) = x\times \left(-3x +\frac{1}{7}\right)$

Question☘

Factoriser $f(x) = -x^2 + 16$

Solution

On reconnaît la différence de deux carrés: $f(x) = 4^2 - x^2$ .

D'où la forme factorisée: $f(x) = (4-x)(4+x)$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = x^2 +10x +25$

Solution

On reconnaît le développement du carré d'une somme: $f(x) = x^2 + 2\times 5x + 5^2$ .

D'où la forme factorisée: $f(x) = (x+5)^2$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = x^2 - \frac{1}{49}$ .

Solution

On reconnaît la différence de deux carrés: $f(x) = x^2 - \left( \frac{1}{7} \right)^2$ .

D'où une forme factorisée: $f(x) = \left( x -\frac{1}{7} \right) \times \left( x +\frac{1}{7} \right)$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = \frac{1}{13}x^2 - \sqrt{3} x$

Solution

$x$ est un facteur commun: $f(x) = x \times \left(\frac{1}{13}x - \sqrt{3} \right)$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = x^2 - \frac{4}{25}$ .

Solution

On reconnaît la différence de deux carrés: $f(x) = x^2 - \left( \frac{2}{5} \right)^2$ .

D'où une forme factorisée: $f(x) = \left( x -\frac{2}{5} \right) \times \left( x +\frac{2}{5} \right)$ .

Question☘

Factoriser $f(x) = \frac{2}{15}x^2 - \sqrt{5}\, x$ .

Solution

$x$ est un facteur commun: $f(x) = x \times \left(\frac{2}{15}x - \sqrt{5} \right)$ .