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Capacité 19c

Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant l'une de ses racines.

A savoir

Une fonction du second degré f(x) = ax^2 +bx+c possédant le nombre r pour racine (r\neq 0) peut toujours se factoriser sous la forme f(x) = a(x-r)(x - s) où s s'obtient en identifiant les coefficients constants: ars=c d'où s=\frac{c}{ar}.

Dès que l'on possède une racine d'un polynôme du second degré, on peut donc factoriser cette expression.

Question

En remarquant que 2 est racine de f(x) = x^2-6x +8, factorisez f(x).

Solution

2 est racine car f(2) = 2^2 -6\times 2 + 8 = 4 -12 + 8 = 0.

f(x) peut donc se réécrire sous la forme f(x) = (x-2)(x-p).

En développant cette dernière expression, le terme constant sera 2p. On doit donc avoir 2p = 8, d'où p=4.

Ainsi, f(x) se factorise sous la forme f(x) = (x-2) (x-4).

Question

En remarquant que 1 est racine de f(x) = 3x^2 + 3x -6, factoriser f(x).

Solution

1 est bien racine car f(1) = 3+3-6 = 0.

f(x) peut donc s'écrire sous la forme f(x) = 3(x-1)(x -p).

En développant cette dernière expression, le terme constant est 3p. D'où 3p = -6 et f(x) = 3(x-1)(x+2).

Question

En remarquant que -1 est racine de f(x) = 7x^2-28x-35, factoriser f(x).

Solution

-1 est racine: f(-1) = 7\times (-1)^2 -28\times (-1) -35 = 7 + 28 -35 = 0.

f(x) peut donc se réécrire sous la forme f(x) = 7(x -(-1)) (x -p), c'est à dire f(x) = 7(x+1)(x-p).

En développant cette expression, on voit que le terme constant est -7p, d'où -7p = -35, soit p=5. Et une expression factorisée de f(x): f(x) = 7(x+1)(x-5).

Question

En remarquant que 4 est racine de f(x) = x^2 - x - 12, factoriser f(x).

Solution

4 est racine de f car f(4) = 4^2 -4 -12= 16-4-12= 12-12=0.

f(x) peut donc se réécrire sous la forme f(x) = (x-4)(x-p).

En développant cette expression, le terme constant est 4p, d'où 4p = -12 et p = -3. D'où une forme factorisée: f(x) = (x-4)(x +3).

Question

En remarquant que -4 est racine de f(x) = 3x^2-3x -60, factoriser f(x).

Solution

f(-4) = 3\times 16 +12 -60 = 60-60=0: -4 est bien racine.

Donc f(x) = 3(x+4)(x-s). Et le terme constant est -3\times 4s. D'où -12s=-60, soit s=5.

f(x)= 3(x+4)(x-5).

Question

En remarquant que -10 est racine de f(x) = x^2+21x+110, factoriser f(x).

Solution

f(-10) = (-10)^2+21\times (-10)+110 = 100-210+110=0. -10 est bien racine.

D'où f(x) = (x+10)(x-s). Le terme constant est -10s = 110 donc s=-11 et f(x)= (x+10)(x+11).

Question

En remarquant que 4 est racine de f(x) = x^2 - 3x - 4, factoriser f(x).

Solution

4 est racine de f car f(4) = 4^2 - 3\times 4 - 4 = 16-12-4 = 0.

f(x) peut donc se réécrire sous la forme f(x) = (x-4)(x-s).

En développant cette expression, le terme constant est 4s, d'où 4s = -4 et s = -1. D'où une forme factorisée: f(x) = (x-4)(x + 1).

Question

En remarquant que 2 est racine de f(x) = x^2 +8x - 20, factoriser f(x).

Solution

2 est racine de f car f(2) = 2^2 +8\times 2 - 20 = 4+16-20 = 0.

f(x) peut donc se réécrire sous la forme f(x) = (x-2)(x-s).

En développant cette expression, le terme constant est 2s, d'où 2s = -20 et s = -10. D'où une forme factorisée: f(x) = (x-2)(x + 10).