Capacité 19c☘

Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant l'une de ses racines.

A savoir☘

Une fonction du second degré $f(x) = ax^2 +bx+c$ possédant le nombre $r$ pour racine $(r\neq 0)$ peut toujours se factoriser sous la forme $f(x) = a(x-r)(x - s)$ où s s'obtient en identifiant les coefficients constants: $ars=c$ d'où $s=\frac{c}{ar}$ .

Dès que l'on possède une racine d'un polynôme du second degré, on peut donc factoriser cette expression.

Question☘

En remarquant que 2 est racine de $f(x) = x^2-6x +8$ , factorisez $f(x)$ .

Solution

2 est racine car $f(2) = 2^2 -6\times 2 + 8 = 4 -12 + 8 = 0$ .

$f(x)$ peut donc se réécrire sous la forme $f(x) = (x-2)(x-p)$ .

En développant cette dernière expression, le terme constant sera 2p. On doit donc avoir 2p = 8, d'où $p=4$ .

Ainsi, $f(x)$ se factorise sous la forme $f(x) = (x-2) (x-4)$ .

Question☘

En remarquant que 1 est racine de $f(x) = 3x^2 + 3x -6$ , factoriser $f(x)$ .

Solution

1 est bien racine car $f(1) = 3+3-6 = 0$ .

$f(x)$ peut donc s'écrire sous la forme $f(x) = 3(x-1)(x -p)$ .

En développant cette dernière expression, le terme constant est 3p. D'où $3p = -6$ et $f(x) = 3(x-1)(x+2)$ .

Question☘

En remarquant que $-1$ est racine de $f(x) = 7x^2-28x-35$ , factoriser $f(x)$ .

Solution

$-1$ est racine: $f(-1) = 7\times (-1)^2 -28\times (-1) -35 = 7 + 28 -35 = 0$ .

$f(x)$ peut donc se réécrire sous la forme $f(x) = 7(x -(-1)) (x -p)$ , c'est à dire $f(x) = 7(x+1)(x-p)$ .

En développant cette expression, on voit que le terme constant est $-7p$ , d'où $-7p = -35$ , soit $p=5$ . Et une expression factorisée de $f(x)$ : $f(x) = 7(x+1)(x-5)$ .

Question☘

En remarquant que 4 est racine de $f(x) = x^2 - x - 12$ , factoriser $f(x)$ .

Solution

4 est racine de $f$ car $f(4) = 4^2 -4 -12= 16-4-12= 12-12=0$ .

$f(x)$ peut donc se réécrire sous la forme $f(x) = (x-4)(x-p)$ .

En développant cette expression, le terme constant est 4p, d'où $4p = -12$ et $p = -3$ . D'où une forme factorisée: $f(x) = (x-4)(x +3)$ .

Question☘

En remarquant que $-4$ est racine de $f(x) = 3x^2-3x -60$ , factoriser $f(x)$ .

Solution

$f(-4) = 3\times 16 +12 -60 = 60-60=0$ : $-4$ est bien racine.

Donc $f(x) = 3(x+4)(x-s)$ . Et le terme constant est $-3\times 4s$ . D'où $-12s=-60$ , soit $s=5$ .

$f(x)= 3(x+4)(x-5)$ .

Question☘

En remarquant que $-10$ est racine de $f(x) = x^2+21x+110$ , factoriser $f(x)$ .

Solution

$f(-10) = (-10)^2+21\times (-10)+110 = 100-210+110=0$ . $-10$ est bien racine.

D'où $f(x) = (x+10)(x-s)$ . Le terme constant est $-10s = 110$ donc $s=-11$ et $f(x)= (x+10)(x+11)$ .

Question☘

En remarquant que 4 est racine de $f(x) = x^2 - 3x - 4$ , factoriser $f(x)$ .

Solution

4 est racine de $f$ car $f(4) = 4^2 - 3\times 4 - 4 = 16-12-4 = 0$ .

$f(x)$ peut donc se réécrire sous la forme $f(x) = (x-4)(x-s)$ .

En développant cette expression, le terme constant est 4s, d'où $4s = -4$ et $s = -1$ . D'où une forme factorisée: $f(x) = (x-4)(x + 1)$ .

Question☘

En remarquant que 2 est racine de $f(x) = x^2 +8x - 20$ , factoriser $f(x)$ .

Solution

2 est racine de $f$ car $f(2) = 2^2 +8\times 2 - 20 = 4+16-20 = 0$ .

$f(x)$ peut donc se réécrire sous la forme $f(x) = (x-2)(x-s)$ .

En développant cette expression, le terme constant est 2s, d'où $2s = -20$ et $s = -10$ . D'où une forme factorisée: $f(x) = (x-2)(x + 10)$ .