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Capacité 20

Calculer la dérivée d’une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 3.

Rappels

Propriétés

Une fonction affine f: x \longmapsto ax+b (où a et b sont des réels) est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x) = a.

La fonction carré f: x \longmapsto x^2 est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x) = 2x.

La fonction cube f: x \longmapsto x^3 est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x) = 3x^2.

Si f et g sont dérivables sur un intervalle J alors la fonction f+g est dérivable sur J et (f+g)' = f' + g'.

Si f est dérivable sur un intervalle J et si k est un nombre réel, alors la fonction kf est dérivable sur J et (kf)' = k\times f'.

Conséquence

Une fonction polynôme de degré 2 f: x\longmapsto ax^2+bx+c est dérivable sur \mathbb{R} avec f'(x) = 2ax +b.

Une fonction polynôme de degré 3 f: x\longmapsto ax^3+bx^2+cx+d est dérivable sur \mathbb{R} avec f'(x) = 3ax^2 +2bx+c.

Question

Dériver la fonction f définie par f(x)=x^2+x^3.

Solution

La dérivée de f définie par f(x) = x^2 + x^3 est f'(x) = 2x + 3x^2.

Question

Dériver la fonction f définie par f(x)=-4x+9.

Solution

La dérivée de f définie par f(x)=-4x+9 est f'(x) = -4.

Question

Dériver la fonction f définie par f(x)= 42 -3x + 20x^2.

Solution

La dérivée de f définie par f(x)= 42 -3x + 20x^2 est f'(x) = -3 + 40x.

Question

Dériver la fonction f définie par f(t)= \frac{2}{3} t^3 - 6t^2 + 21.

Solution

La dérivée de f définie par f(t)= \frac{2}{3} t^3 - 6t^2 + 21 est f'(t) = \frac{2}{3} \times 3 t^2 - 6 \times 2t + 0, soit f'(t) = 2 t^2-12t.

Question

Dériver la fonction g définie par g(x)= 0,02 x^3 - x^2 + \pi x.

Solution

La dérivée de g définie par g(x)= 0,02 x^3 - x^2 + \pi x est g'(x) = 0,02 \times 3x^2 - 2x + \pi, soit g'(x) = 0,06 x^2 - 2x + \pi.

Question

Dériver la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \frac{-x^3 + \pi x^2 - 9}{17}.

Solution

f(x) = \frac{-x^3 + \pi x^2 - 9}{17} = \frac{1}{17} \left(-x^3 + \pi x^2 - 9 \right)
On a donc:
f'(x) = \frac{1}{17} \left(-3x^2 + \pi\times 2x - 0 \right)
f'(x) = \frac{1}{17} \left(-3x^2 + 2\pi x \right)

Question

Dériver la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = -2x^3 + 5x - 9.

Solution

f'(x) = -2\times 3x^2 +5 + 0, soit f'(x) = -6x^2 +5

Question

Dériver la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = 2x^3 -5x^2 +8.

Solution

f'(x) = 2\times 3x^2 -5\times 2x +0, soit f'(x) = 6x^2 -10x