Capacité 21☘

Calculer le coefficient directeur de la tangente en un point à une courbe à l’aide de la dérivée.

Lien entre coefficient directeur de la tangente et nombre dérivé☘

Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $a$ . Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant $f$ , au point $A(a;f(a))$ .

Question☘

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 de la courbe représentant $x\longmapsto \frac{1}{x}$ ?

Solution

Le coefficient directeur est $f'(2)$ .

On a $f(x) = \frac{1}{x}$ , et $f'(x) = \frac{-1}{x^2}$ . Donc $f'(2) = \frac{-1}{2^2}$ .

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 est égal à $-0,25$ .

Question☘

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 de la courbe représentant $x\longmapsto 7x^3+x^2+\pi$ ?

Solution

Le coefficient directeur est $f'(0)$ .

On a $f(x) = 7x^3+x^2+\pi$ , et $f'(x) = 21x^2+2x+0$ . Donc $f'(0) = 0$ .

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est égal à $0$ (il s'agit donc d'une tangente parallèle à l'axe des abscisses).

Question☘

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 de la courbe représentant $x\longmapsto\frac{2x+1}{3x+2}$ ?

Solution

Le coefficient directeur est $f'(0)$ .

On a $f(x) =\frac{2x+1}{3x+2}$ . $f$ est un quotient de deux fonctions: $f=\frac{u}{v}$ , donc $f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ , donc $f'(x) =\frac{2\times (3x+2) - (2x+1)\times 3}{(3x+2)^2}$ . Donc $f'(0) = \frac{4-3}{2^2}$ .

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est égal à $0,25$ .

Question☘

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto 3x^2 + x\sqrt{2} + 5$ ?

Solution

Le coefficient directeur est $f'(1)$ .

On a $f(x) = 3x^2 + x\sqrt{2} + 5$ .

$f'(x) = 6x +\sqrt{2}$ . Donc $f'(1) = 6 +\sqrt{2}$ .

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est égal à $6 +\sqrt{2}$ .

Question☘

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 de la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto \text{e}^x + 3x^2 + 1$ ?

Solution

Le coefficient directeur est $f'(0)$ .

On a $f(x) = \text{e}^x + 3x^2 + 1$ .

$f'(x) = \text{e}^x + 6x$ . Donc $f'(0) = 1$ .

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est égal à $1$ .

Question☘

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 de la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto 3\text{e}^x - 5x^2 + x$ ?

Solution

Le coefficient directeur est $f'(0)$ .

On a $f(x) = 3\text{e}^x - 5x^2 + x$ $.

$f'(x) = 3\text{e}^x - 10x + 1$ . Donc $f'(0) = 4$ .

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est égal à $4$ .