Capacité 26☘

Exploiter une équation de courbe (appartenance d’un point, calcul de coordonnées)

A savoir☘

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ .

Un point $M(x ~;~ y)$ est un point de la courbe $\mathcal{C}$ si et seulement si $y = f(x)$ .

C'est pour cette raison que l'équation $y = f(x)$ est appelée équation de la courbe $\mathcal{C}$ .

Cas particulier 1☘

Une équation $y=mx+p$ est une équation de courbe. La fonction $f$ associée est la fonction affine $f(x)=mx+p$ . Et la courbe est une droite.

Cas particulier 2☘

Une équation $y=ax^2+bx+c$ est une équation de courbe. La fonction $f$ associée est la fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ . Et la courbe est une parabole.

Question☘

Une droite a une équation de la forme $y=mx+2$ . Cette droite passe par le point $A\left(\frac{2}{3}~;~\frac{4}{5}\right)$ .

Préciser l'équation de cette droite (en déterminant $m$ ).

Solution

Le point $A\left(\frac{2}{3}~;~\frac{4}{5}\right)$ appartient à cette droite. Donc on $y_A = mx_A+2$ , soit $\frac{4}{5} = m\frac{2}{3}+2$ .

D'où (en multipliant par 15): $12 =10 m +2$ , donc $12-2=10m$ et $m=1$ .

Question☘

Une droite a pour coefficient directeur 5. Cette droite passe par le point $A\left(\frac{2}{3}~;~\frac{4}{5}\right)$ .

Préciser l'équation de cette droite.

Solution

La droite a une équation de la forme $y=5x+p$ .

Le point $A\left(\frac{2}{3}~;~\frac{4}{5}\right)$ appartient à cette droite. Donc on $y_A = 5x_A+p$ , soit $\frac{4}{5} = 5\times\frac{2}{3}+p$ .

D'où $p = \frac{4}{5} - \frac{10}{3}$ , soit $p= \frac{4\times 3 - 10\times 5}{15}$ , $\boxed{p=\frac{-38}{15}}$ .

Question☘

Une parabole $\mathcal{P}$ , représentative d'une fonction du second degré, passe par les points $A(0~;~-6)$ , $B(2~;~0)$ et $C(1~;~ -4)$ . Déterminer une équation de cette parabole.

Solution

Une équation de parabole est de la forme $y=ax^2+bx+c$ .

$A(0~;~-6)\in \mathcal{P}$ donc $y_A=ax_A^2+bx_A+c$ , ce qui donne $-6=a\times 0^2+b \times 0+c$ , soit $\boxed{c=-6}$ .

L'équation de $\mathcal{P}$ peut déjà se réécrire: $y=ax^2+bx-6$ .

$B(2~;~0)\in \mathcal{P}$ donc $y_B=ax_B^2+bx_B-6$ , soit $0=4a+2b-6$ ou $4a+2b=6$ , ou encore $\boxed{2a+b=3} (E_1)$ .

$C(1~;~ -4)\in \mathcal{P}$ donc $y_C=ax_C^2+bx_C-6$ , soit $-4=a+b-6$ , soit $\boxed{a+b=2} (E_2)$ .

De l'équation $(E_1)$ , on tire $b=3-2a$ . En remplaçant $b$ par cette expression dans l'équation $(E_2)$ , on obtient $a+(3-2a)=2$ , soit $-a+3=2$ ou $-a=-1$ et $\boxed{a=1}$ .
En remplaçant $a$ par sa valeur dans $(E_2)$ , on obtient $\boxed{b=1}$ .

L'équation de la parabole $\mathcal{P}$ est donc $y=x^2+x-6$ .

Question☘

Une courbe $\mathcal{C}$ passe par les points $A(0~;~\frac{2}{3})$ et $B(1~;~\frac{7}{5})$ .
Cette courbe a une équation de la forme $y = \frac{ax+b}{2x^2+3}$ .
Déterminer $a$ et $b$ .

Solution

$A(0~;~\frac{2}{3})\in\mathcal{C}$ donc $y_A = \frac{ax_A+b}{2x^2+3}$ , soit $\frac{2}{3} = \frac{a\times 0+b}{2\times 0^2+3}$ , soit $\frac{2}{3} = \frac{b}{3}$ , donc $\boxed{b=2}$ .

L'équation de $\mathcal{C}$ est donc $y = \frac{ax+2}{2x^2+3}$ .

$B(1~;~\frac{7}{5})\in\mathcal{C}$ donc $y_B = \frac{ax_B+2}{2x^2+3}$ , soit $\frac{7}{5} = \frac{a +2}{2 +3}$ , d'où $\frac{7}{5} = \frac{a +2}{5}$ ou encore $7 = a +2$ et $\boxed{a=5}$ .

L'équation de $\mathcal{C}$ est donc $y = \frac{5x+2}{2x^2+3}$ .

Question☘

Le point $B$ d'ordonnée $y_B = \frac{2}{3}$ appartient à la droite représentant la fonction affine $f: x \longmapsto \frac{11}{7}x -1$ . Déterminer l'abscisse du point $B$ .

Solution

La droite a pour équation $y = \frac{11}{7}x -1$ . Le point $B$ appartient à cette droite, donc $y_B = \frac{11}{7}x_B -1$ , soit $\frac{2}{3} = \frac{11}{7}x_B -1$ .

En multipliant chaque membre par $7\times 3$ : $14 = 33x_B -21$ . D'où $33x_B = 14 + 21$ et $\boxed{x_B = \frac{35}{33}}$ .

Question☘

Vérifier que l'équation $x^2+2x-6=2$ d'inconnue $x$ est équivalente à l'équation $(x-2)(x+4)=0$ .
Un point $A$ d'ordonnée $y_A = 2$ et d'abscisse positive appartient la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f: x \longmapsto x^2+2x-6$ . Déterminer $x_A$ .

Solution

$(x-2)(x+4)=0 \Leftrightarrow x^2+4x-2x-8=0 \Leftrightarrow x^2+2x-8=0 \Leftrightarrow x^2+2x-6-2=0 \Leftrightarrow x^2+2x-6 = 2$
Comme $A$ appartient à la courbe représentant $f: x \longmapsto x^2+2x-6$ , on a $y_A = x_A^2 + 2x_A - 6$ , soit $2 = x_A^2 + 2x_A - 6$ ou encore (avec la question 1) $(x_A-2)(x_A+4)=0$ . Cette équation a deux solutions: 2 et $-4$ . Comme $x_A > 0$ , on a $\boxed{x_A = 2}$ .

Question☘

Une parabole $\mathcal{P}$ , représentative d'une fonction du second degré, passe par les points $A(0~;~0)$ , $B(2~;~0)$ et $C(1~;~ -4)$ . Déterminer une équation de cette parabole.

Solution

Une équation de parabole est de la forme $y=ax^2+bx+c$ .

$A(0~;~0)\in \mathcal{P}$ donc $y_A=ax_A^2+bx_A+c$ , ce qui donne $0=a\times 0^2+b \times 0+c$ , soit $\boxed{c=0}$ .

L'équation de $\mathcal{P}$ peut déjà se réécrire: $y=ax^2+bx$ .

$B(2~;~0)\in \mathcal{P}$ donc $y_B=ax_B^2+bx_B$ , soit $0=4a+2b$ ou $\boxed{2a+b=0} (E_1)$ .

$C(1~;~ -4)\in \mathcal{P}$ donc $y_C=ax_C^2+bx_C$ , soit $-4=a+b$ , soit $\boxed{a+b=-4} (E_2)$ .

De l'équation $(E_1)$ , on tire $b=-2a$ . En remplaçant $b$ par cette expression dans l'équation $(E_2)$ , on obtient $a+(-2a)=-4$ , soit $-a=-4$ ou $\boxed{a=4}$ .
En remplaçant $a$ par sa valeur dans $(E_2)$ , on obtient $\boxed{b=-8}$ .

L'équation de la parabole $\mathcal{P}$ est donc $y=4x^2-8x$ .

Question☘

Une parabole $\mathcal{P}$ admet une équation de la forme $y=3x^2+bx+c$ et passe par le point $A\left(\frac{5}{3}~;~1\right)$ . Exprimer $b$ en fonction de $c$ .

Solution

$A\left(\frac{5}{3}~;~1\right)\in \mathcal{P}$ donc $y_A=3x_A^2+bx_A+c$ , soit $1=3\left(\frac{5}{3}\right)^2+b\times \frac{5}{3}+c$ ou encore $1= \frac{25}{3} +b\times \frac{5}{3}+c$ .

On a donc $1 -\frac{25}{3} = b\times \frac{5}{3}+c$ , soit $-\frac{22}{3} = b\times \frac{5}{3}+c$

et $b\times \frac{5}{3} = -\frac{22}{3} - c$ , d'où $5b = -22 -3c$ et enfin $\boxed{b = \frac{-3c-22}{5}}$ .

Question☘

Une parabole $\mathcal{P}$ admet une équation de la forme $y=ax^2+5x+c$ et passe par le point $A\left(3~;~1\right)$ . Exprimer $c$ en fonction de $a$ .

Solution

$A\left(3~;~1\right)\in \mathcal{P}$ donc $y_A=ax_A^2+5x_A+c$ , soit $1=9a+15+c$ ou encore $\boxed{c= -14-9a}$ .