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Capacité 30

Déterminer graphiquement le coefficient directeur d’une tangente à une courbe.

Rappels

Lien entre coefficient directeur et nombre dérivé

Soit f une fonction dérivable en un réel a. Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant f, au point A(a;f(a)).

Lecture graphique d'un coefficient directeur

On a dessiné ci-dessous la courbe d'une fonction en vert ainsi que la tangente en un point A (en noir) d'abscisse a= 6.

Pour déterminer le nombre dérivé f'(a), c'est à dire le coefficient directeur de la tangente en A, on peut placer un second point B et calculer m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\Delta y = y_B - y_A et \Delta x = x_B - x_A.

Sur la figure, on a \Delta y \approx -2,7 et \Delta x \approx 3, soit m\approx -0,9.

Question

On a dessiné ci-dessous la courbe d'une fonction f et sa tangente au point A d'abscisse 1.

Lire graphiquement le nombre dérivé f'(1).

Solution

f'(1) est le coefficient directeur de la tangente au point A.

On place un point B sur cette tangente, par exemple B(2;2) et on lit \Delta y = y_B-y_A = 2 et \Delta x = x_B - x_A = 1, d'où f'(1) = 2.

Question

Sur le graphique de la question précédente, on a aussi représenté une tangente au point D.

Lire graphiquement le coefficient directeur de cette tangente.

Solution

Deux points pris sur cette tangente ont même ordonnée: \Delta y = 0. Le coefficient directeur de la tangente au point D est donc 0.

On a donc f'(x_D) = 0.

Question

On a dessiné ci-dessous la courbe d'une fonction f et sa tangente au point A d'abscisse 0,5.

Lire graphiquement le nombre dérivé f'(0,5).

Solution

f'(0,5) est le coefficient directeur de la tangente au point A.

On place un point B sur cette tangente, par exemple B(0;4) et on lit \Delta y = y_B-y_A = 1,5 et \Delta x = x_B - x_A = -0,5, d'où f'(0,5) = -3.