Capacité 4b☘
Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur initiale.
A savoir☘
Augmentation☘
Si une quantité Q subit une augmentation relative de t%, elle devient Q' = Q + t\% Q, c'est à dire Q' = Q + t \text{ centièmes de } Q, soit Q' = Q + \frac{t}{100} Q, ce que l'on peut aussi écrire Q' = \left( 1 + \frac{t}{100} \right) Q.
Si l'on connaît la valeur finale Q', on détermine donc la valeur initiale Q par: Q = \frac{Q'}{1+\frac{t}{100}}.
Diminution☘
Si une quantité Q subit une diminution relative de t%, elle devient Q' = Q - t\% Q, c'est à dire Q' = Q - t \text{ centièmes de } Q, soit Q' = Q - \frac{t}{100} Q, ce que l'on peut aussi écrire Q' = \left( 1 - \frac{t}{100} \right) Q.
Si l'on connaît la valeur finale Q', on détermine donc la valeur initiale Q par: Q = \frac{Q'}{1-\frac{t}{100}}.
Question☘
Le prix d'un article, après une augmentation de 20%, est de 400 €.
Quel était son prix avant augmentation ?
Solution
\frac{400}{1+20\%} = \frac{400}{1,2} \approx 333,33.
Le prix était d'approximativement 333,33 euros.
Question☘
Le prix d'un article, après une diminution de 20%, est de 400 €.
Quel était son prix avant diminution ?
Solution
\frac{400}{1-20\%} = \frac{400}{0,8} = 500.
Le prix était de 400 euros.
Question☘
La population française est d'environ 67 200 000 en 2020. Elle a augmenté d'environ 12% depuis l'an 2000.
Quel était l'effectif de la population française en 2000 ?
Solution
\frac{67,2}{1+0,12} = 60
La population française était d'environ 60 millions en 2020.
Question☘
La population d'une ville a augmenté de 50% ces trente dernières années. Elle est aujourd'hui de 150 000 habitants. Quel était l'effectif de population de cette ville il y a 30 ans ?
Solution
Si une quantité Q augmente de t%, elle devient Q' = Q + t% Q.
On a donc 150 000 = (1+ 50%) × Q où Q est l'effectif il y a 30 ans.
On a donc 150 000 = 1,5 Q, soit Q= \frac{\ 150000\ }{\frac{3}{2}} = 150000 \times \frac{2}{3}
soit Q = 3\times 5 \times 10000 \times \frac{2}{3} = 5 \times 10000 \times {2} = 100 000.
La ville comptait 100 000 habitants il y a 30 ans.
Question☘
La population d'une ville a augmenté de 30% durant la dernière décennie. Elle est aujourd'hui de 130 000 habitants. Quel était l'effectif de population de cette ville il y a dix ans ?
Solution
Si une quantité Q augmente de t%, elle devient Q' = Q + t% Q.
On a donc 130 000 = (1+ 30%) × Q où Q est l'effectif il y a 10 ans.
On a donc 130 000 = 1,3 Q, soit Q= \frac{\ 130\, 000\ }{1,3} = \frac{\ 1\, 300\, 000\ }{13} = 100\, 000.
La ville comptait 100 000 habitants il y a 10 ans.