Capacités 5a, 5b☘

Calculer un taux d’évolution.
Exprimer un taux d’évolution en pourcentage.

A savoir☘

Si une quantité passe d'une valeur V_initial = V_i à une valeur V_final=V_f, le taux d'évolution est le nombre $\tau$ tel que $V_{\text{f}} = (1+\tau) V_{\text{i}}$ .

On peut aussi écrire: $\frac{V_{\text{f}}}{V_{\text{i}}} = 1+\tau$ , soit $\tau = \frac{V_{\text{f}}}{V_{\text{i}}} -1$ ou encore $\boxed{\tau = \frac{V_{\text{f}} - V_{\text{i}}}{V_{\text{i}}}}$ .

Si la quantité (positive) subit une augmentation, ce taux est positif.
Si la quantité (positive) subit une diminution, ce taux est négatif.

Question☘

Un prix passe de 200 € à 100 €. Calculer le taux d'évolution de ce prix. Exprimer cette évolution en pourcentage.

Solution

Le prix passe de $V_i = 200$ à la valeur finale $V_f=100$ .

Le taux d'évolution est $\tau = \frac{V_f-V_i}{V_i} = \frac{100-200}{200} = \frac{-100}{200}= \frac{-1}{2}$ .

Le taux d'évolution est $-0,5$ . En d'autres termes, le prix a diminué de 50%.

Question☘

Un prix passe de 200 € à 400 €. Calculer le taux d'évolution de ce prix. Exprimer cette évolution en pourcentage.

Solution

Le prix passe de $V_i = 200$ à la valeur finale $V_f = 400$ .

Le taux d'évolution est $\tau = \frac{V_f-V_i}{V_i} = \frac{400-200}{200} = \frac{200}{200}= 1$ .

Le taux d'évolution est 1. En d'autres termes, le prix a augmenté de 100%.

Question☘

L'effectif de population d'une ville passe de 10 000 à 8 000 en 5 ans. Calculer le taux d'évolution de cet effectif. Exprimer cette évolution en pourcentage.

Solution

L'effectif passe de $V_i = 10 000$ à la valeur finale $V_f = 8 000$ .

Le taux d'évolution est $\tau = \frac{V_f-V_i}{V_i} = \frac{8 000-10 000}{10 000} = \frac{-2000}{10 000}= \frac{-2}{10} = -0,2 $.

Le taux d'évolution est égal à $-0,2$ . En d'autres termes, l'effectif de population a diminué de 20%.

Question☘

Une personne est passée d'un salaire mensuel de 2000 € à un salaire mensuel de 1700 €. Quel est le taux d'évolution de son salaire.

Solution

$\tau = \frac{V_f-V_i}{V_i} = \frac{1700-2000}{2000} = \frac{-3}{20} = -0,15$ .

Son salaire a baissé de 15%.

Question☘

En 1945, la population française était d'environ 40 millions. En 2005, elle était d'environ 60 millions. Quel est le taux d'évolution de la population entre ces deux dates ?

Solution

$\tau = \frac{V_f-V_i}{V_i} = \frac{60-40}{40} = \frac{20}{40} = 0,5$ .

Augmentation de 50%.

Question☘

Un effectif passe de 120 à 150. A quel taux d'évolution cela correspond-il ?

Solution

$\tau = \frac{V_f-V_i}{V_i} = \frac{150-120}{120} = \frac{30}{120} = 0,25$ .

Augmentation de 25%.