Capacité 8☘

Calculer un taux d’évolution réciproque.

A retenir☘

Compenser une augmentation☘

Une augmentation de t% ne se compense pas par une diminution de t%.

En effet, une augmentation de t% revient à multiplier par $1+\frac{t}{100}$ . Et pour annuler une multiplication par $1+\frac{t}{100}$ , il faut effectuer une division par $1+\frac{t}{100}$ .

Compenser une diminution☘

Une diminution de t% ne se compense pas par une augmentation de t%.

En effet, une diminution de t% revient à multiplier par $1-\frac{t}{100}$ . Et pour annuler une multiplication par $1-\frac{t}{100}$ , il faut effectuer une division par $1-\frac{t}{100}$ .

Taux réciproque☘

Le taux réciproque d'un taux d'évolution est le taux à appliquer pour un retour à la valeur initiale.

Si un prix $P_i$ subit un taux $\tau$ , le prix devient $P_f = (1+\tau)P_i$ .

Pour un retour au prix initial, on passe du prix $P_f$ au prix $P_i$ . Le taux d'évolution de $P_f$ à $P_i$ (taux réciproque de $\tau$ ) est $\tau_r = \frac{P_i-P_f}{P_f} = \frac{P_i-(1+\tau)P_i}{(1+\tau)P_i} = \frac{1-(1+\tau) }{(1+\tau)} = \frac{-\tau}{1+\tau}$ .

Question☘

Un prix augmente de 100% entre 2000 et 2010 puis revient, en 2020, à sa valeur de l'an 2000. Quel est le taux d'évolution entre 2010 et 2020 ?

Solution

Le prix passe de la valeur P à la valeur 2P entre 2000 et 2010.
Il passe de la valeur 2P à la valeur P entre 2010 et 2020.

Le taux d'évolution entre 2010 et 2020 (taux d'évolution réciproque d'une augmentation de 100%) est $\tau_r = \frac{P-2P}{2P} = \frac{1-2}{2} = -0,5$ .

Pour compenser une hausse de 100%, il faut donc appliquer une baisse de 50%.

Question☘

L'effectif de la population d'une ville diminue de 40% entre une date $d_0$ et une date $d_1$ . Quel est le taux d'augmentation à appliquer entre la date $d_1$ et une date ultérieure $d_2$ pour un retour à la population de la date $d_0$ ?

Solution

Entre les dates $d_0$ et $d_1$ , on passe d'un effectif P à un effectif 0,6P.

Entre les dates $d_1$ et $d_2$ , on passe de 0,6P à P.

Le taux d'évolution est donc, entre les dates $d_1$ et $d_2$ : $\tau_r = \frac{P-0,6P}{0,6P}=\frac{0,4}{0,6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ .

Pour compenser une baisse de 40%, il faut donc une hausse d'environ 66,7%.

Question☘

Quel est le taux réciproque d'une baisse de 10% ?

Solution

Pour une baisse de 10%, on passe d'une valeur V à la valeur 0,9V.

Pour un retour à l'initial, on passe de 0,9V à V, soit un taux $\tau_r = \frac{V-0,9V}{0,9V}=\frac{0,1}{0,9}=\frac{1}{9}$ .

On compense donc une baisse de 10% par une hausse approximative de 11%.

Question☘

Quel est le taux d'évolution réciproque d'une hausse de 50% ?

Solution

Une quantité passe de la valeur Q à la valeur 1,5Q dans une hausse de 50%.

Elle passe de 1,5Q à Q lors de l'évolution "réciproque".

Le taux correspondant est $\tau_r = \frac{Q-1,5Q}{1,5Q} = \frac{-0,5}{1,5} = \frac{-5}{15} =\frac{-1}{3} \approx -0,33$ .

L'évolution "réciproque" d'une hausse de 50% est une baisse d'un tiers de la valeur (soit une baisse d'environ 33%).

Question☘

Quel est le taux d'évolution réciproque d'une baisse de 50% ?

Solution

Une quantité passe de la valeur Q à la valeur 0,5Q dans une baisse de 50%.

Elle passe de 0,5Q à Q lors de l'évolution "réciproque".

Le taux correspondant est $\tau_r = \frac{Q-0,5Q}{0,5Q} = \frac{0,5}{0,5} = 1$ .

L'évolution "réciproque" d'une baisse de 50% est une hausse de 100%.