Capacité 9☘

Reconnaître une situation contextualisée se modélisant par une suite géométrique dont on identifie la raison.

A retenir☘

Si, dans une suite de nombres, chaque terme de la suite est une augmentation de t% du terme précédent, la suite est géométrique de raison 1+ t% = $1 + \frac{t}{100}$ .

Si, dans une suite de nombres, chaque terme de la suite est une diminution de t% du terme précédent, la suite est géométrique de raison 1- t% = $1 - \frac{t}{100}$ .

Question☘

Un prix augmente chaque année de 1%. La suite des prix est géométrique de raison q = .... ?

Solution

Augmenter de 1% revient à multiplier par 1+1% = 1,01.
La suite des prix est géométrique de raison 1,01.

Question☘

Xavier verse une somme de $s_1 = 20$ € en janvier 2020 sur un compte. Chaque mois, il augmente de 0,5% la somme versée. On note $s_n$ la somme versée le n ième mois.

Quelle est la nature de la suite ?

Solution

Augmenter de 0,5% revient à multiplier par 1+0,5% = 1,005. On a $s_{n+1} = 1,005 \times s_n$ . La suite des versements est géométrique de raison 1,005, le premier terme étant $s_1 = 20$ .

Question☘

Un ménage dépense 400 € en électricité sur l'année 2010. Chaque année leur facture augmente de 1,1%.

Quelle est la nature de la suite des dépenses annuelles en électricité de ce ménage ?

Solution

Si l'on note $d_n$ le montant en euros de la facture d'électricité l'année $2010 +n$ , on a, pour tout n : $d_{n+1} = 1,011 d_n$ (car une augmentation de 1,1% revient à multiplier par $1+\frac{1,1}{100}= 1,011$ ).

Il s'agit d'une suite géométrique depremier terme $d_0 = 400$ et de raison 1,011.

Question☘

Max place $s_0 = 2000$ € à intérêts composés au taux annuel de 0,8%.

On note $s_1$ la somme disponible après un an, $s_2$ la somme disponible parès deux ans, ..., $s_n$ la somme disponible après n années.

Que dire de la suite des sommes $(s_n)$ ?

Solution

Placer à intérêts composés au taux de 0,8% signifie que chaque année, la somme placée augmente de 0,8%, c'est à dire est multipliée par $1 + 0,8\div 100 = 1,008$ .

On a donc pour tout entier $n$ : $s_{n+1} = s_n \times 1,008$ .

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $s_0 = 2000$ et de raison 1,008.

Question☘

Une balle rebondissante est lâchée d'une hauteur $h_0 = 3$ mètres. Après chaque rebond, la hauteur atteinte par la balle diminue de 30% par rapport à la hauteur précédente.

Que dire de la suite des hauteurs successives atteintes par la balle ?

Solution

On note $h_1$ la hauteur atteinte après le premier rebond,
$h_2$ la hauteur atteinte après le second rebond, ..., $h_n$ la hauteur atteinte après le rebond n.

On a, pour tout n, $h_{n+1} = h_n \times 0,7$ (car diminuer de 30% revient à multiplier par $1- 30\div 100 = 0,7$ ).

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $h_0 = 3$ et de raison 0,7.

Question☘

Une région pauvre en emplois voit l'effectif de sa population décroïtre de 2,3% chaque année.

Que dire de la suite des effectifs annuels de la population de cette région ?

Solution

Chaque année, l'effectif de population est multiplié par $1-\frac{2,3}{100} = 0,977$ .

Il s'agit d'une suite géométrique de raison 0,977 (et on ne connaît pas ici la valeur du terme initial).

Question☘

Le prix d'un produit augmente chaque année de 0,5%. La suite des valeurs annuelles du prix de ce produit constitue donc une suite géométrique. Quelle est la raison de cette suite ?

Solution

On multiplie chaque année le prix par $1+0,5\% = 1,005$ . La suite est géométrique de raison 1,005.

Question☘

La population d'une ville augmente chaque année de 2%. La suite des effectifs de cette population constitue donc une suite géométrique. Quelle est la raison de cette suite ?

Solution

On multiplie chaque année l'effectif de population par $1+2\% = 1,02$ . La suite est géométrique de raison 1,02.