De l'écriture en base b à l'écriture en base 10

Important

Comme dans les chapitres précédents, une notation non indicée par une base représente une écriture dans la base usuelle (base 10).
Ainsi 101 est le nombre de dalmatiens tandis que 101₂ est égal à 5.

Décomposition d'un décimal écrit en base 10

On rappelle via un exemple ce que signifie l'écriture décimale usuelle d'un décimal.

L'écriture 123,425 signifie:
1 centaine, 2 dizaines, 3 unités, 4 dixièmes, 2 centièmes, 5 millièmes.
C'est à dire:
123,425 = 1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰ + 4× 10^-1 + 2× 10^-2 + 5× 10^-3, ce qui s'écrit aussi $123,425 = 1\times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3\times 10^0 + \frac{4}{10} + \frac{2}{10^2} + \frac{5}{10^3}$.

De la base 2 vers la base 10

De façon similaire, l'écriture 101,11_deux s'interprète comme suit:

101,11_deux = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2, ou encore $101,11_{\text{deux}} = 4 + 0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 5,75$.

De la base 16 vers la base 10

Et de façon analogue, l'écriture 2a,b_seize se lit ainsi:

2a,b_seize = 2 × 16¹ + 10 × 16⁰ + 11 × 16^-1. Ou encore: $2a,b_{\text{seize}} = 2 \times 16 + 10 + \frac{11}{16}$. Soit 2a,b_seize = 42,6875.

Exercice

Donner l'écriture en base dix des nombres suivants:

• a = 111,11₂
• b = 1010,1001₂
• c = 0,011₂

a

$a = 4+2+1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$, soit $a = 7,75$.

b

$b = 8 + 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$, soit $b = 10,5625$.

c

$c = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$, soit $c = 0,375$.