Notation scientifique☘
En base 10☘
Un nombre réel x sera dit écrit en notation scientifique en base 10 lorsqu'il est écrit sous la forme a× 10n où a est un réel de l'intervalle [1; 10[ et n un entier relatif (a et n écrits en base 10).
a est appelé la mantisse et n est appelé l'exposant.
Remarque
A part 0, tout réel peut être représenté ainsi en acceptant des mantisses avec un nombre infini
de chiffres.
S'il s'agit d'écrire vraiment la mantisse, ou de stocker en machine ces chiffres, cette mantisse ne peut plus
être infinie et
on est, dans ce cas, limité aux décimaux.
Si on ajoute en plus comme contrainte que l'on ne peut pas dépasser un certain nombre de chiffres
pour écrire la mantisse (et l'exposant), on se
retrouve avec un nombre très limité de décimaux représentés...Et c'est ce qu'il se passe en machine
pour le codage des réels par les flottants.
En bref, il nous faut représenter l'ensemble infini des réels par un ensemble fini de nombres...
Remarque
Dans l'écriture scientifique, il n'y a qu'un seul chiffre à gauche de la virgule, et ce chiffre est non nul. Le nombre de chiffres à droite de la virgule est par contre variable.
Exercice☘
Écrire en notation scientifique (base 10) les nombres réels suivants.
Identifier la mantisse et l'exposant.
- x = 3 000 000 000
x
x = 3 × 109
mantisse = 3
exposant = 9
- y = 0, 006
y
y = 6 × 10-3
mantisse = 6
exposant = -3
- z = 42
z
z = 4,2 × 101
mantisse = 4,2
exposant = 1
Un convertisseur
Vous pouvez vous entraîner en traitant d'autres exercices à l'aide de ce convertisseur de notation décimale vers notation scientifique.
En base 2☘
Un nombre réel x sera dit écrit en notation scientifique en base 2 lorsqu'il est écrit sous la forme a×2n où a est un réel de l'intervalle [1; 2[ et n un entier relatif (a et n écrits en base 2).
Note
La mantisse a ayant excatement un bit non nul avant la virgule est nécessairement de la forme 1,... (puisque en base 2, le seul chiffre non nul est 1).
Note
Tout nombre, à part 0, peut s'écrire ainsi (en acceptant des mantisses avec un nombre infini de bits).
Exercice☘
Écrire en notation scientifique (base 2) les nombres réels suivants:
- x = 1 000 000 000deux
x
En décimal, on a x = 29.
La notation scientifique en base deux : x = 1 × 101001
(attention, le 10 ici est en base deux, il s'agit donc du nombre 2dix).
mantisse = 1
exposant = 1001
- y = 0,001deux
y
y = 0,001deux = 1 × 10-11
mantisse = 1
exposant = -11
- z = 11011deux
z
z = 11011deux = 1,1011 × 10100
mantisse = 1,1011
exposant = 100
- w = 9dix
w
w = 1001deux soit 1,001 × 1011
mantisse = 1,001
exposant = 11