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Exercices: déterminer une racine lorsqu'on en connaît déjà une

Exercice

Soit f\colon x\longmapsto 4x^2-8x-12 un trinôme.

Vérifier que -1 est racine de f puis déterminer les racines de f.

Résolution, rédaction 1

On calcule f(-1):

\begin{align*} f(-1) &= 4(-1)^2-8(-1)-12\\ &= 4 +8-12\\ &= 0\\ \end{align*}

-1 est donc racine de f et le nombre s tel que \frac{-1+s}{2} = \frac{-b}{2a}, c'est à dire s = -\frac{b}{a}+1 = 3 est la seconde racine.

Résolution, rédaction 2

On vérifie par le calcul que l'on a bien f(-1)=0.

On détermine l'écart e entre \frac{-b}{2a} = 1 et la racine r=-1: e = 2. On reporte cet écart de "l'autre côté": \frac{-b}{2a} +e =3: la seconde racine est 3.

axe et symétrie

Exercice

Soit f\colon x\longmapsto -3x^2-30x-75 un trinôme.

Vérifier que -5 est racine de f puis déterminer les racines de f.

Résolution, rédaction 1

On calcule f(-5):

\begin{align*} f(-5) &= -3(-5)^2-30(-5)-75\\ &= -75+150-75\\ &= 0\\ \end{align*}

r=-5 est donc racine de f. Le nombre s tel que \frac{-5+s}{2} = \frac{-b}{2a}, c'est à dire s = -\frac{b}{a}+5 a pour valeur -5.

Il n'y a donc qu'une seule racine: -5.

Résolution, rédaction 2

L'écart e entre \frac{-b}{2a} = -5 et la racine r=-5 est égal à 0. Il n'y a donc qu'une seule racine.