Symétrie de la parabole

Un théorème

Soit $f$ la fonction du second degré $f\colon x \longmapsto ax^2+bx+c$.

Alors pour tout réel $x$ et tout réel $x'$, on a:

$$f(x) = f(x') \Longleftrightarrow x=x' \text{ ou } x=-\left(x'+\frac{b}{a}\right)$$

Pour tout réel $x$ et tout réel $x'$ tels que $x\neq x'$, on a donc:

$$f(x) = f(x') \Longleftrightarrow \frac{x+x'}{2}= -\frac{b}{2a}$$

preuve

Pour tout réel $x$ et tout réel $x'$, on a

$$\begin{align*} f(x) = f(x') &\Longleftrightarrow (ax^2+bx+c)-(ax'^2+bx'+c) = 0\\ &\Longleftrightarrow a(x^2-x'^2)+b(x-x')= 0\\ &\Longleftrightarrow a(x-x')(x+x')+b(x-x')= 0\\ &\Longleftrightarrow (x-x')\times\left(a(x+x')+b\right)= 0\\ &\Longleftrightarrow (x-x')\times a\left(x+x'+\frac{b}{a}\right)= 0\\ &\Longleftrightarrow x=x' \text{ ou } x= -\left(x'+\frac{b}{a}\right)\\ &\Longleftrightarrow x=x' \text{ ou } x+x'= -\frac{b}{a}\\ &\Longleftrightarrow x=x' \text{ ou } \frac{x+x'}{2}= -\frac{b}{2a}\\ \end{align*}$$

Corollaire

Soit $f$ la fonction du second degré $f\colon x \longmapsto ax^2+bx+c$.

Pour $x=\frac{-b}{2a}$, il n'existe aucun réel $x'\neq x$ tel que $f(x)=f(x')$.

Pour $x\neq \frac{-b}{2a}$, il existe un unique réel $x'\neq x$ tel que $f(x)=f(x')$: le réel $x'$ tel que $\frac{x+x'}{2}=-\frac{b}{2a}$.

Corollaire

La parabole représentant la fonction du second degré $f\colon x\longmapsto ax^2+bx+c$ (en repère orthonormé) admet la droite $\delta$ d'équation $x = \frac{-b}{2a}$ pour axe de symétrie.