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Des formules

Discriminant

Soit f\colon x\longmapsto ax^2+bx+c une équation du second degré. On appelle discriminant de cette équation le nombre \Delta = b^2-4ac.

Théorème

L'équation ax^2+bx+c=0, d'inconnue x\in\mathbb{R}, possède 0 ou 1 ou 2 solutions. Plus précisément:

  • si \Delta <0, l'équation n'a pas de solution dans \mathbb{R}.
  • si \Delta =0, l'équation a une unique solution dans \mathbb{R}: le nombre \frac{-b}{2a}.
  • si \Delta >0, l'équation a deux solutions dans \mathbb{R}: les nombres \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} et \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}.

preuve

Les deux racines sont symétriques par rapport à l'abscisse du sommet.

axe et symétrie

On peut les chercher sous la forme \frac{-b}{2a}+e et \frac{-b}{2a}-e mettant en évidence cette symétrie.

On cherche x racine de f avec x=\frac{-b}{2a}+e, c'est à dire e = x-\frac{-b}{2a} (écart entre x et l'abscisse \frac{-b}{2a} du sommet).

On a:

\begin{align*} f(x) &= f\left(\frac{-b}{2a}+e\right)\\ &= a\left(e+\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(e+\frac{-b}{2a}\right)+c\\ &= a\left(e^2+\frac{-be}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \right) +be+\frac{-b^2}{2a}+c\\ &= ae^2-be + \frac{b^2}{4a} +be+\frac{-b^2}{2a}+c\\ &= ae^2 + \frac{b^2}{4a} +\frac{-b^2}{2a}+c\\ &= ae^2 + \frac{b^2}{4a} +\frac{-2b^2}{4a}+c\\ &= ae^2 - \frac{b^2}{4a} +c\\ &= ae^2 - \frac{b^2}{4a} +\frac{4ac}{4a}\\ &= ae^2 - \frac{\Delta}{4a} \end{align*}

On a donc:

\begin{align*} f(x) = 0 &\Longleftrightarrow ae^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0 \\ &\Longleftrightarrow ae^2 = \frac{\Delta}{4a} \\ &\Longleftrightarrow e^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \\ &\Longleftrightarrow \left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \\ \end{align*}

Cas du discriminant strictement négatif.

f(x) = 0 \Longleftrightarrow \left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}

Le carré d'un réel est un nombre de l'intervalle \left[0~;~+\infty\right[: il n'existe donc aucun réel x tel que \left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2 = \Delta avec \Delta\in \left]-\infty~;~0\right[. L'équation ax^2+bx+c=0 est donc sans solution dans \mathbb{R}.

Cas du discriminant nul.

On a f(x) = 0 \Longleftrightarrow \left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}, soit
f(x) = 0 \Longleftrightarrow \left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2 = 0 ou encore ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow x-\frac{-b}{2a} = 0.

L'équation a donc une unique solution dans \mathbb{R}: le nombre \frac{-b}{2a}.

Cas du discriminant strictement positif

On a f(x) = 0 \Longleftrightarrow \left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}, soit

ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow x-\frac{-b}{2a} = \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ ou } x-\frac{-b}{2a} = \frac{+\sqrt{\Delta}}{2a}.

L'équation a donc deux solutions dans \mathbb{R}: les nombres \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} et \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}.

Remarque

Dans la preuve ci-dessus, on a obtenu f(x) = ae^2 - \frac{\Delta}{4a} soit ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}. Cette écriture de f est ce que l'on nomme forme canonique de f. On pourrait la nommer de façon plus appropriée forme symétrique de f ou encore forme sommet de f puisqu'elle met en évidence l'axe de symétrie (d'équation x=\frac{-b}{2a}) de la parabole et les coordonnées du sommet de cette parabole \Omega\left(\frac{-b}{2a}~;~-\frac{\Delta}{4a}\right).