Exercices de résolution d'équations de degré 2.

Exercice

Résoudre l'équation $x^2+x+1=0$, d'inconnue $x\in\mathbb{R}$.

Résolution

$$\begin{align*} ax^2 + bx +c =0 & \Longleftrightarrow (2ax+b)^2 = b^2-4ac \\ & \Longleftrightarrow (2x+1)^2 = 1^2-4\times 1 \times 1 \text{ pour } a=1, b=1, c=1 \\ & \Longleftrightarrow (2x+1)^2 = -3 \\ \end{align*}$$

Un carré de nombre réel étant un nombre positif ou nul, cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Exercice

Résoudre l'équation $9x^2+12x+4=0$, d'inconnue $x\in\mathbb{R}$.

Résolution

$$\begin{align*} ax^2 + bx +c =0 & \Longleftrightarrow (2ax+b)^2 = b^2-4ac \\ & \Longleftrightarrow (18x+12)^2 = 0 \text{ pour } a=9, b=12, c=4 \\ & \Longleftrightarrow 18x+12 = 0 \\ & \Longleftrightarrow x = \frac{-12}{18} \\ \end{align*}$$

Cette équation a une unique solution dans $\mathbb{R}$ : le nombre $\frac{-2}{3}$.

Exercice

Résoudre l'équation $x^2+2x-3=0$, d'inconnue $x\in\mathbb{R}$.

Résolution

$$\begin{align*} ax^2 + bx +c =0 & \Longleftrightarrow (2ax+b)^2 = b^2-4ac \\ & \Longleftrightarrow (2x+2)^2 = 2^2-4\times 1\times (-3) \text{ pour } a=1, b=2, c=-3 \\ & \Longleftrightarrow (2x+2)^2 = 16 \\ & \Longleftrightarrow (2x+2) = 4 \text{ ou } (2x+2) = -4 \\ & \Longleftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = -3 \\ \end{align*}$$

Cette équation a deux solutions dans $\mathbb{R}$ : les nombres $1$ et $-3$.