Des formules

Discriminant

Soit $ax^2+bx+c=0$ une équation du second degré. On appelle discriminant de cette équation le nombre $\Delta = b^2-4ac$.

Théorème

L'équation $ax^2+bx+c=0$, d'inconnue $x\in\mathbb{R}$, possède 0 ou 1 ou 2 solutions. Plus précisément:

• si $\Delta <0$, l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.
• si $\Delta =0$, l'équation a une unique solution dans $\mathbb{R}$: le nombre $\frac{-b}{2a}$.
• si $\Delta >0$, l'équation a deux solutions dans $\mathbb{R}$: les nombres $\frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$.

preuve

Cas du discriminant strictement négatif.

On a $ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow (2ax+b)^2 = \Delta$. Le carré d'un réel est un nombre de l'intervalle $\left[0~;~+\infty\right[$: il n'existe donc aucun réel $x$ tel que $(2ax+b)^2 = \Delta$ avec $\Delta\in \left]-\infty~;~0\right[$. L'équation $ax^2+bx+c=0$ est donc sans solution dans $\mathbb{R}$.

Cas du discriminant nul.

On a $ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow (2ax+b)^2 = \Delta$, soit
$ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow (2ax+b)^2 = 0$
$ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow 2ax+b = 0$.

L'équation a donc une unique solution dans $\mathbb{R}$: le nombre $\frac{-b}{2a}$.

Cas du discriminant strictement positif

On a $ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow(2ax+b)^2 = \Delta$, d'où

$ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow 2ax+b = \sqrt{\Delta} \text{ ou } 2ax+b = -\sqrt{\Delta}$.

L'équation a donc deux solutions dans $\mathbb{R}$: les nombres $\frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$.