Une forme équivalente

Théorème

L'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ est équivalente à l'équation:

$$(2ax+b)^2 = b^2-4ac$$

Preuve -- Rédaction 1

On part de l'égalité $(2ax+b)^2 = b^2-4ac$, on développe, on regroupe, on réduit.

On développe le membre gauche de l'égalité:

$$\begin{align*} (2ax+b)^2 = b^2-4ac & \Longleftrightarrow (2ax)^2 + 2\times(2ax)\times b+b^2 = b^2-4ac \\ & \Longleftrightarrow 4a^2x^2 + 4abx+b^2 = b^2-4ac \end{align*}$$

On ajoute $-b^2+4ac$ à chaque membre de l'égalité:

$$\begin{align*} (2ax+b)^2 = b^2-4ac & \Longleftrightarrow 4a^2x^2 + 4abx +4ac=0 \end{align*}$$

On factorise par $4a$:

$$\begin{align*} (2ax+b)^2 = b^2-4ac & \Longleftrightarrow 4a\left(ax^2 + bx +c\right)=0 \end{align*}$$

Comme $a\neq 0$:

$$\begin{align*} (2ax+b)^2 = b^2-4ac & \Longleftrightarrow ax^2 + bx +c =0 \end{align*}$$

Preuve -- Rédaction 2

On part de l'égalité $ax^2+bx+c=0$, on la transforme en utilisant l'astuce "Complete the square".

En multipliant chaque membre de l'égalité $ax^2+bx+c=0$ par le réel non nul $4a$:

$$ax^2 + bx +c =0 \Longleftrightarrow 4a\left(ax^2 + bx +c\right)=0$$

Ou encore:

$$ax^2 + bx +c =0 \Longleftrightarrow 4a^2x^2 + 4abx +4ac=0$$

On reconnaît dans l'expression $4a^2x^2 + 4abx$ le début du développement du carré $(2ax+b)^2$:

$$\begin{align*} 4a^2x^2 + 4abx &= 4a^2x^2 + 4abx+ b^2 -b^2\\ &= (2ax+b)^2 -b^2\\ \end{align*}$$

D'où l'équivalence:

$$ax^2 + bx +c =0 \Longleftrightarrow (2ax+b)^2 -b^2 +4ac = 0$$

et enfin

$$ax^2 + bx +c =0 \Longleftrightarrow (2ax+b)^2 = b^2 -4ac$$