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Exercices de factorisation

Exercice

Montrer que le trinôme f\colon x\longmapsto x^2+1 n'est pas factorisable (sur \mathbb{R}).

Résolution

Pour tout réel x, on a x^2 \geqslant 0, donc x^2+1\geqslant 1. f n'a donc pas de racine réelle et n'est pas factorisable (sur \mathbb{R}).

Exercice

Soit f\colon x\longmapsto 4x^2-8x-12 un trinôme.

Vérifier que -1 est racine de f puis écrire f sous forme factorisée.

Résolution

On calcule f(-1):

\begin{align*} f(-1) &= 4(-1)^2-8(-1)-12\\ &= 4 +8-12\\ &= 0\\ \end{align*}

-1 est donc racine de f et le nombre s tel que \frac{-1+s}{2} = \frac{-b}{2a}, c'est à dire s = -\frac{b}{a}+1 = 3 est la seconde racine.

Pour tout réel x: f(x) = 4(x+1)(x-3).

Exercice

Soit f\colon x\longmapsto -3x^2-30x-75 un trinôme.

Vérifier que -5 est racine de f puis écrire f sous forme factorisée.

Résolution

On calcule f(-5):

\begin{align*} f(-5) &= -3(-5)^2-30(-5)-75\\ &= -75+150-75\\ &= 0\\ \end{align*}

r=-5 est donc racine de f. Le nombre s tel que \frac{-5+s}{2} = \frac{-b}{2a}, c'est à dire s = -\frac{b}{a}+5 a pour valeur -5.

Pour tout réel x: f(x) = -3(x+5)^2.