Exercices de factorisation

Exercice

Montrer que le trinôme $f\colon x\longmapsto x^2+1$ n'est pas factorisable (sur $\mathbb{R}$).

Résolution

Pour tout réel $x$, on a $x^2 \geqslant 0$, donc $x^2+1\geqslant 1$. $f$ n'a donc pas de racine réelle et n'est pas factorisable (sur $\mathbb{R}$).

Exercice

Soit $f\colon x\longmapsto 4x^2-8x-12$ un trinôme.

Vérifier que $-1$ est racine de $f$ puis écrire $f$ sous forme factorisée.

Résolution

On calcule $f(-1)$:

$$\begin{align*} f(-1) &= 4(-1)^2-8(-1)-12\\ &= 4 +8-12\\ &= 0\\ \end{align*}$$

$-1$ est donc racine de $f$ et le nombre $s$ tel que $\frac{-1+s}{2} = \frac{-b}{2a}$, c'est à dire $s = -\frac{b}{a}+1 = 3$ est la seconde racine.

Pour tout réel $x$: $f(x) = 4(x+1)(x-3)$.

Exercice

Soit $f\colon x\longmapsto -3x^2-30x-75$ un trinôme.

Vérifier que $-5$ est racine de $f$ puis écrire $f$ sous forme factorisée.

Résolution

On calcule $f(-5)$:

$$\begin{align*} f(-5) &= -3(-5)^2-30(-5)-75\\ &= -75+150-75\\ &= 0\\ \end{align*}$$

$r=-5$ est donc racine de $f$. Le nombre $s$ tel que $\frac{-5+s}{2} = \frac{-b}{2a}$, c'est à dire $s = -\frac{b}{a}+5$ a pour valeur $-5$.

Pour tout réel $x$: $f(x) = -3(x+5)^2$.