Factorisation d'un trinôme dont on connaît une racine

Un théorème

Soit $f$ la fonction du second degré $f\colon x \longmapsto ax^2+bx+c$ possédant une racine $r$.

Alors $f$ est factorisable et pour tout réel $x$, on a:

$$f(x) = a(x-r)(x-s)\text{ où } s \text{ est tel que } \frac{r+s}{2} = \frac{-b}{2a}$$

preuve

Pour tout réel $x$, on a

$$\begin{align*} f(x) &= f(x) -f(r) \\ &= (ax^2+bx+c)-(ar^2+br+c)\\ &= a(x^2-r^2)+b(x-r)\\ &= a(x-r)(x+r)+b(x-r)\\ &= (x-r)\times\left(a(x+r)+b\right)\\ &= (x-r)\times a\left(x+r+\frac{b}{a}\right)\\ &= (x-r)\times a\left(x-s\right)\text{ avec } s = -\left(r+\frac{b}{a}\right)\\ &= a(x-r)\left(x-s\right)\text{ avec } s +r = - \frac{b}{a} \\ \end{align*}$$

Corollaire

On connaît les racines de $f$ dès qu'on en connaît une.

Justification

Si $f\colon x \longmapsto ax^2+bx+c$ possède une racine $r$, alors $f(x) = a(x-r)(x-s)$ avec $s = -\left(r+\frac{b}{a}\right)$.

Et $f(x)=0 \Longleftrightarrow a(x-r)(x-s) = 0$, soit $f(x)=0 \Longleftrightarrow x=r \text{ ou } x=-\left(r+\frac{b}{a}\right)$.

Théorème

Soit $f$ la fonction du second degré $f\colon x \longmapsto ax^2+bx+c$ possédant une racine $r$. Alors les racines de $f$ sont $r$ et le réel $s$ tel que $\frac{r+s}{2}=\frac{-b}{2a}$.

Justification

Tout est déjà dit dans ce qui précède !

Remarque

Si l'on sait que la parabole $\mathcal{P}$ représentant $f$ admet la droite $\delta$ d'équation $x=\frac{-b}{2a}$ pour axe de symétrie, on dispose d'un autre argument pour justifier la relation $\frac{r+s}{2}=\frac{-b}{2a}$. En effet dire que $r$ est racine de $f$ revient à dire que le point $A\left( r~;~ 0\right)$ est un point de la parabole $\mathcal{P}$. Son symétrique $B$ par rapport à $\delta$ a pour abscisse $s$ tel que $\frac{r+s}{2}=\frac{-b}{2a}$ et pour ordonnée 0: le nombre $s$ tel que $\frac{r+s}{2}=\frac{-b}{2a}$ est donc aussi racine de $f$. Pour justifier, avec cette argumentation, que $f$ n'a pas d'autres racines, on peut par exemple faire appel aux variations de $f$.

Remarque

On peut avoir $s=r$. Il faut et il suffit pour cela que $r=\frac{-b}{2a}$.

Théorème

Soit $f$ une fonction du second degré $f\colon x \longmapsto ax^2+bx+c$ possédant une racine $r$.

• Si $r=\frac{-b}{2a}$ alors $f$ possède une unique racine (le nombre $r$).
• Si $r\neq \frac{-b}{2a}$ alors $f$ possède deux racines: $r$ et le nombre
  $s$ tel que $\frac{r+s}{2}=\frac{-b}{2a}$.

A retenir

Soit $f$ une fonction du second degré $f\colon x \longmapsto ax^2+bx+c$.

• Si $f$ posséde deux racines $r$ et $s$ distinctes, alors $f$ est factorisable et pour tout réel $x$, on a:

$$f(x) = a(x-r)(x-s)$$

De plus, la moyenne arithmétique de $r$ et $s$ est le nombre $\frac{-b}{2a}$.

• Si $r= \frac{-b}{2a}$ est racine de $f$, $f$ a une unique racine, $f$ est factorisable et pour tout réel $x$, on a:

$$f(x) = a(x-r)^2$$

Remarque

Dans le second cas (cas où $r= \frac{-b}{2a}$ est racine de $f$), on a aussi $f(x) = a(x-r)(x-s)$ où $s$ est défini par «la moyenne arithmétique de $r$ et $s$ est le nombre $\frac{-b}{2a}$». Mais dans ce cas, on a $s=r$ d'où l'écriture $f(x) = a(x-r)^2$.