De l'hexadécimal au décimal

Les chiffres en écriture hexadécimale

Pour écrire un entier en hexadécimal (c'est à dire en base seize), on a besoin de seize chiffres. On utilisera a, b, c, d, e, f avec la correspondance suivante:

a	b	c	d	e	f
10	11	12	13	14	15

Exemples:

• $f1a_{\text{seize}} = 15\times 16^2 + 1 \times 16^1 + 10 \times 16^0$,
  on a donc $f1a_{\text{seize}} = 3866$.
• $20b3_{\text{seize}} = 2\times 16^3 + 0\times 16^2 + 11 \times 16^1 + 3 \times 16^0$, soit $20b3_{\text{seize}} = 8371$.

Pourquoi

Pourquoi a-t-on besoin de symboles tels que a, b,... pour remplacer 10, 11... Parce que sinon les écritures seraient ambigües. Si l'on écrivait $1a_{\text{seize}}$ sous la forme $110_{\text{seize}}$, on ne pourrait pas savoir qu'il s'agit de $16+10=26$ puisque $110_{\text{seize}}$ peut aussi se lire $16^2 + 16 + 0=272$.

Exercice 1.

1. Donner l'écriture décimale de l'entier $n = 2a_{\text{seize}}$.
2. Donner l'écriture décimale de l'entier $m = dada_{\text{seize}}$.

Solution

1. $n = 2a_{\text{seize}} = 2\times 16 +10= 42$.
2. $m = dada_{\text{seize}} = 13\times 16^3 + 10\times 16^2 + 13 \times 16^1 + 10 \times 16^0 = 56026$.

Exercice 2.

Quels sont les entiers qui s'écrivent, en hexadécimal, sous la forme d'un 1 suivi uniquement de 0 (1_seize, 10_seize, 100_seize, 1000_seize, 10000_seize...)?

Résolution

• $1_{\text{seize}} = 1 = 16^0$
• $10_{\text{seize}} = 16^1$
• $100_{\text{seize}} = 16^2$
• $1000_{\text{seize}} = 16^3$
• ...
• $100...0_{\text{seize}} = 16^m$ où $m$ est le nombre de zéros.

Les nombres 10...0 sont les puissances de 16.