La fonction dlog

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On définit une fonction sur les entiers > 0.

Note

Ceux qui suivront la spécialité mathématiques en terminale découvriront la fonction "plus générale" logarithme.

Définition

Tout entier naturel $n$ (non nul) est compris entre deux puissances de 10: $10^k \leqslant n < 10^{k+1}$.

Le nombre $k$ sera appelé dlog(n).

Remarque

dlog(n) + 1 est le nombre de chiffres de l'écriture décimale de n.

Par exemple: $100 \leqslant 122 < 1000$, donc dlog(122) = 2. Et le nombre de chiffres de 122 est 3.

Exercice 1

Donner les valeurs de dlog(99), dlog(100), dlog(1000), dlog(101), dlog(1).

Solution

• $10 \leqslant 99 < 10^2$ donc dlog(99) = 1.
• $10^2 \leqslant 100 < 10^3$ donc dlog(100) = 2.
• $10^2 \leqslant 101 < 10^3$ donc dlog(101) = 2.
• $10^3 \leqslant 1000 < 10^4$ donc dlog(100) = 3.
• $10^0 \leqslant 1 < 10^1$ donc dlog(1) = 0.

Exercice 2

Proposer un corps possible pour la fonction python suivante:

def dlog(n):
    """
    n -- entier naturel non nul
    renvoie dlog(n)
    """

une solution

def Dlog(n):
    """
    n -- entier naturel non nul
    renvoie dlog(n)
    """
    k = 0
    while 10**k <= n:
        k += 1
    return k-1

Proposer maintenant une solution qui n'utilise pas ** pour calculer les puissances de 10 (cet exercice des calculs des puissances successives sans utiliser ** a déjà été fait précédemment, vous devriez donc savoir le traiter).

Un code possible

def dlog(n):
    """
    n -- entier naturel non nul
    renvoie dlog(n)
    """
    k = 0
    p = 1 # contiendra les puissances de 10 successives
    while p <= n:
        k += 1
        p *= 10
    return k-1